【LOJ565】【LibreOJ Round #10】mathematican 的二进制 DP 分治FFT

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【LOJ565】【LibreOJ Round #10】mathematican 的二进制 DP 分治FFT

题目大意有一个无限长的二进制串,初始时它的每一位都为 \(0\).现在有 \(m\) 个操作,其中第 \(i\) 个操作是将这个二进制串的数值加上 \(2^{a_i}\).我们称每次操作的代价是这次操作改变的位的数量. 我们以一定概率执行这些操作:第 \(i\) 个操作有 \(p_i\) 的概率执行,否则不执行. 请求出所有执行的操作的代价和的期望. \(n\leq 100000,m\leq 200000,0\leq a_i\leq n\) 题解容易发现,如果进行了 \(k\) 次操作且把这…

LOJ#565. 「LibreOJ Round #10」mathematican 的二进制分治,FFT,概率期望

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/LOJ565.html 前言标算真是优美可惜这题直接暴力FFT算一算就solved了. 题解首先,假装没有进位,考虑解决这个问题. 对于每一位,考虑作用在其之上的概率为 \(p\) 的操作,构建多项式 \(((1-p) + px )\),那么将一个位置上所有这样的多项式乘起来之后, \(x^k\) 项系数就代表这个位置被操作 \(k\) 次的概率.对答案的贡献就是 \(k\times\) \(x^k\) 项系数. 考虑进位…

【BZOJ5119】【CTT2017】生成树计数 DP 分治FFT 斯特林数

CTT=清华集训题目大意有\(n\)个点,点权为\(a_i\),你要连接一条边,使该图变成一颗树. 对于一种连边方案\(T\),设第\(i\)个点的度数为\(d_i\),那么这棵树的价值为: \[ val(T)=(\prod_{i=1}^na_i^{d_i}d_i^m)(\sum_{i=1}^nd_i^m) \] 求所有生成树的价值和\(\bmod 998244353\) \(n\leq 30000,m\leq 30\) 题解很容易想到prufer序列先把式子化简: \[ \begin{…

LOJ565. 「LibreOJ Round #10」mathematican 的二进制（NTT）

题目链接 https://loj.ac/problem/565 题解首先,若进行所有操作之后成功执行的操作数为 \(m\),最终得到的数为 \(w\),那么发生改变的二进制位的数量之和(即代价之和)为 \(2m - {\rm bit}(w)\).其中,\({\rm bit}(x)\) 表示 \(x\) 在二进制下 \(1\) 的个数. 证明:不难发现,一次操作会改变的二进制位的总数为进位次数\(+1\),因此执行 \(m\) 次操作后改变的二进制位的数量总和为总进位次数\(+m\).由于一次进…

#565. 「LibreOJ Round #10」mathematican 的二进制（期望 + 分治NTT）

题面戳这里,题意简单易懂. 题解首先我们发现,操作是可以不考虑顺序的,因为每次操作会加一个 \(1\) ,每次进位会减少一个 \(1\) ,我们就可以考虑最后 \(1\) 的个数(也就是最后的和),以及成功操作次数,就行了. 然后根据期望的线性性,我们可以从低到高按位考虑贡献. 考虑一个递推:\(f(i, j)\) 表示从后往前第 \(i\) 位总共被改变 \(j\) 次的概率,那么有两种转移: 进位:\(\displaystyle f(i - 1, j) \to f(i, \lfloor…

Codeforces Beta Round #10 D. LCIS（DP&LCIS）

D. LCIS time limit per test 1 second memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output This problem differs from one which was on the online contest. The sequence a1, a2, ..., an is called increasing, if ai < ai + 1 for …