如何快速求解第一类斯特林数--nlog^2n + nlogn

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如何快速求解第一类斯特林数--nlog^2n + nlogn

目录参考资料前言暴力 nlog^2n的做法 nlogn的做法代码参考资料百度百科斯特林数学习笔记-by zhouzhendong 前言首先是因为这道题,才去研究了这个玩意:[2019雅礼集训][第一类斯特林数][NTT&多项式]permutation 感觉这个东西非常的...巧妙. 暴力第一类斯特林树S(n,k)就是将n个数字划分为k个不相区分的圆排列的方案数(即忽略顺序). 首先,第一类斯特林数有一个人尽皆知的$O(n^2)$递推式: \[S(n,k)=S(n-1,k-…

【2019雅礼集训】【CF 960G】【第一类斯特林数】【NTT&多项式】permutation

目录题意输入格式输出格式思路代码题意找有多少个长度为n的排列,使得从左往右数,有a个元素比之前的所有数字都大,从右往左数,有b个元素比之后的所有数字都大. n<=2*10^5,a,b<=n 输入格式输入三个整数n,a,b. 输出格式输出一个整数,表示答案. 思路这道题是真的神啊... 首先,根据官方题解的思路,首先有一个n^2的DP: 定义dp[i][j]表示一个长度为i的排列,从前往后数一共有j个数字大于所有排在它前面的数字. 首先有转移式: \[dp[i][j]=dp[…

CF960G(第一类斯特林数)

题目 CF960G 做法设$f(i,j)$为$i$个数的序列,有$j$个前缀最大值的方案数我们考虑每次添一个最小数,则有:$f(i,j)=f(i-1,j)+(i-1)*f(i-1,j-1)$,显然这是第一类斯特林数从而我们得到一个朴素的答案:\[Ans=\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i,a-1}×f_{n-1-i,b-1}×C_{n-1}^i\] 理解:枚举$i+1$为最大值添的位置,则已限制了前缀最值个数及后缀最值个数,然后再乘上前半部分所填的数观…

【cf960G】G. Bandit Blues（第一类斯特林数）

传送门题意: 现在有一个人分别从$1,n$两点出发,包中有一个物品价值一开始为$0$,每遇到一个价值比包中物品高的就交换两个物品. 现在已知这个人从左边出发交换了$a$次,从右边出发交换了$b$次. 现在问有多少个排列满足这一条件. 思路: 倒过来考虑的话,显然全局最大值为最后一次交换. 然后左边我们会放置$a-1$个递增的物品,右边放$b-1$个递减的物品,其余的物品我们在中间部分任意放置即可,但要保证价值在一定范围. 将问题进一步抽象,我们即要将$n-1$个数划…

CF960G Bandit Blues 第一类斯特林数、NTT、分治/倍增

传送门弱化版:FJOI2016 建筑师由上面一题得到我们需要求的是$\begin{bmatrix} N - 1 \\ A + B - 2 \end{bmatrix} \times \binom {A+B-2} {A - 1}$ 注意到这题的复杂度瓶颈是求第一类斯特林数,因为求组合数可以$O(N)$,但是暂时我们求第一类斯特林数只有$O(N^2)$的方法考虑第一类斯特林数的转移式子:\(\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{b…

CF960G Bandit Blues 【第一类斯特林数 + 分治NTT】

题目链接 CF960G 题解同FJOI2016只不过数据范围变大了考虑如何预处理第一类斯特林数性质 \[x^{\overline{n}} = \sum\limits_{i = 0}^{n}\begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix}x^{i}\] 分治$NTT$即可在$O(nlog^2n)$的时间内预处理出同一个$n$的所有$\begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix}$ 其实还有比较优美的倍增$fft$的\(O(…

CF960G Bandit Blues 分治+NTT（第一类斯特林数）

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$ 给你三个正整数 $n$,$a$,$b$,定义 $A$ 为一个排列中是前缀最大值的数的个数,定义 $B$ 为一个排列中是后缀最大值的数的个数,求长度为 $n$ 的排列中满足 $A = a$ 且 $B = b$ 的排列个数.$n \le 10^5$,答案对 $998244353$ 取模. $\color{#0066ff}{输入格式}$ 三个整数n,a,b \(\color{#0066ff}{输出格式}\…