多项式总结&多项式板子 三角/反三角是不可能放的(也不可能真香的 多项式乘法(DFT,FFT,NTT,MTT) 背板子 前置知识:泰勒展开 如果\(f(x)\)在\(x_0\)处存在\(n\)阶导,那么 \[f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^i(x_0)}{i!}(x-x_0)^i\] 称作\(f(x)\)在\(x_0\)处的泰勒展开. 前置知识:牛顿迭代 有一个\(n-1\)次多项式\(A(x)\),你需要求\(B(x)\)满足\(A(B(x))\equiv 0(…

[Cogs2187]帕秋莉的超级多项式(多项式运算) 题面 Cogs 题解 多项式运算模板题 只提供代码了.. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<set> #include<map> #include<vec…

题目大意:给你两个多项式$f(x)$和$g(x)$,满足$f(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)$,$g(x)=\prod\limits_{i=1}^{m}(b_i+1)$. 现在给你一个多项式$h(x)$,满足$h(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}(a_ib_j+1)$ 请输出多项式$h$的前$k$项,在模$998244353$意义下进行. 数据范围:$n,m≤10^5$. 我们现在有: $f(x)=\…

题意 题目链接 Sol 多项式exp,直接套泰勒展开的公式 \(F(x) = e^{A(x)}\) 求个导\(F'(x) = A(x)\) 我们要求的就是\(G(f(x)) = lnF(x) - A(x)\)的零点. 然后把\(F(x)\)看做变量\(A(x)\)看做长度(什么鬼啊qwq) \(G'(F(x)) = \frac{1}{F(x)}\) 然后就可以牛顿迭代啦 \[F(x) = F_0(x) - \frac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}\] \[F(x) = F_0(x…

题目大意 一行有\(n\)个球,现在将这些球分成\(k\) 组,每组可以有一个球或相邻两个球.一个球只能在至多一个组中(可以不在任何组中).求对于\(1\leq k\leq m\)的所有\(k\)分别有多少种分组方法. 答案对\(998244353\)取模. \(n\leq {10}^9,m<2^{19}\) 题解 因为\(k>n\)的项都是\(0\),所以我们钦定\(m\leq n\) 考虑DP. 记\(f_{i,j}\)为前\(i\)个球分为\(j\)组的方案数. \[ f_{i,j}=f…

多项式均表示为数组形式,数组元素为多项式降幂系数 1.      polyval函数 求多项式在某一点或某几个点的值. p = [1,1,1];%x^2+x+1 x = [-1,0,1];y = polyval(p,x); 另外求函数在某一点或某几个点的值可以用函数feval. x = [-1,0,1]; y = feval(@(x)exp(x),x);%注意用的乘法和乘法都改用.运算符 2.      roots函数 求多项式的零点. p = [1,-3,2,0];x0 = roots(p);…

LINK:多项式 exp 做多项式的题 简直在嗑药. 前置只是 泰勒展开 这个东西用于 对于一个函数f(x) 我们不好得到 其在x处的取值. 所以另外设一个函数g(x) 来在x点处无限逼近f(x). 具体的 \(f(x) ≈ g(x)=g(0)+\frac{f^1(0)}{1!}x+\frac{f^2(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^n(0)}{n!}x^n\) 牛顿迭代: 常用来求一个函数的零点:假设我们已经求得一个近似值x0 那么我们只需要过(x0,f(x0))这个点做函数图像…

题面传送门 wjz:<如何优雅地 AK NOI> 我:如何优雅地爆零 首先,按照这题总结出来的一个小套路,看到多项式与组合数结合的题,可以考虑将普通多项式转为下降幂多项式,因为下降幂和组合数都可以用阶乘相除的形式表示,而对于两个组合数相乘我们有恒等式 \(\dbinom{n}{m}\dbinom{m}{k}=\dbinom{n}{k}\dbinom{n-k}{m-k}\),这样我们可以将原式中待枚举变量 \(m\) 从两个组合数中转移到一个组合数(\(\dbinom{n-k}{m-k}\))中…

题意 题目链接 Sol \(B(x) = \exp(K\ln(A(x)))\) 做完了... 复杂度\(O(n\log n)\) // luogu-judger-enable-o2 // luogu-judger-enable-o2 #include<bits/stdc++.h> #define Pair pair<int, int> #define MP(x, y) make_pair(x, y) #define fi first #define se second #defin…

题意 题目链接 Sol 这个不用背XD 前置知识: \(f(x) = ln(x), f'(x) = \frac{1}{x}\) \(f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)\) 我们要求的是\(G(x) = F(A(x)), F(x) = ln(x)\) 可以直接对两边求导\(G'(A(x)) = F'(A(x))A'(x) = \frac{A(x)}{A'(x)}\) 发现这个可以算,只要求个逆就行了. 那么就直接求导之后积分回去,复杂度\(O(nlogn)\) #include<bi…

写在前面 由于上一篇总结的版面限制,特开此文来记录 \(OI\) 中多项式类数学相关的问题. 该文启发于Miskcoo的博客,甚至一些地方直接引用,在此特别说明:若文章中出现错误,烦请告知. 感谢你的造访. 前置技能 多项式相关 形同 \(P(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots+a_nX^n\) 的形式幂级数 \(P(X)\) 称为多项式.其中 \(\{a_i|i\in[0,n]\}\) 为多项式的系数: \(n\) 表示多项式的次数. 多项式的系数表示 对于 \(n\) 次多项…

目录 写在前面 前置技能 多项式相关 多项式的系数表示 多项式的点值表示 复数相关 复数的意义 复数的基本运算 单位根 代码相关 多项式乘法 快速傅里叶变换 DFT IDFT 算法实现 递归实现 迭代实现 快速数论变换 原根 算法实现 模数任意的解决方案 应用 快速卷积 多项式求逆 基本概念 求解方法 算法实现 求第二类斯特林数 第二类斯特林数 \(\text{NTT}\) 优化 快速沃尔什变换 \(xor\) 卷积 结论(三种卷积求法) 正向 \(\text{tf}\) 逆向 \(\text{…

二次联通门 : LibreOJ #108. 多项式乘法 /* LibreOJ #108. 多项式乘法 FFT板子题 不行啊...跑的还是慢 应该找个机会学一学由乃dalao的fft 或者是毛爷爷的fft,跑的真是快啊... */ #include <cstdio> #include <iostream> #include <cmath> ; char Buf[BUF], *buf = Buf; inline void read (int &now) { ; !i…

/*删除表的正确方法*/ /*assume header*/ void DeleteList(List L) { Position p,Tmp; p=L->Next; while(p != NULL) { Tmp=p->Next; free(p); p = Tmp; } }//先free掉,然后再判断这个结点的Next是不是NULL,是就不做了 /*多项式ADT*/ /*多项式数组实现的类型声明*/ /*一个结构就可以表示.一个多项式*/ typedef struct{ CoeffArray[…

卷积 给定向量:, 向量和: 数量积(内积.点积): 卷积:,其中 例如: 卷积的最典型的应用就是多项式乘法(多项式乘法就是求卷积).以下就用多项式乘法来描述.举例卷积与DFT. 关于多项式 对于多项式,系数为,设最高非零系数为,则其次数就是,记作.任何大于的整数都是的次数界. 多项式的系数表达方式:(次数界为). 则多项式的系数向量即为. 多项式的点值表达方式:,其中各不相同,. 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT).在信号处…

FFT(快速傅立叶变换)和NTT(快速数论变换)看上去很高端,真正搞懂了就很simple了辣. 首先给出多项式的一些定义(初中数学内容): 形如Σaixi的式子就是多项式! 多项式中每个单项式叫做多项式的项. 这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数. 有几个不同的元也是多项式,但在下面将不被考虑. 注意:(n+1)个点可以唯一确定一个n次多项式(两点定线啊之类的). 然后就是一些比较高明的东西了. 首先在掌握FFT之前我们要掌握一下知识: 1.复数的计算法则. 形如(a+bi)的数叫复数,…

http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/49804441 常见的曲线拟合方法 1.使偏差绝对值之和最小 2.使偏差绝对值最大的最小       3.使偏差平方和最小 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线,并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法. 皮皮blog 多项式拟合 多项式拟合公式 多项式阶数对数据拟合的影响 数据量较少,阶数过高,可能过拟合. 多项式拟合问题描述 假定给定一个训练数据集: 其中,是输入的观测值,是相应的输出y的…

MFC实现一元稀疏多项式运算器 基本要求 输入并建立两个多项式 多项式a与b相加,建立和多项式c 多项式a与b相减,建立差多项式d 输出多项式a, b, c, d.输出格式:比如多项式a为:A(x)=c1xe1+ c2xe2+-+ cmxem,其中,ci和ei分别为第i项的系数和指数,且各项按指数的升幂排列,即0≤e1<e2<-<em 功能已加强,这里我实现了输入可以不需要保持递增,输出依然递增有序,即加入了查找位置的函数. 首先看一下我界面,较为粗糙,实现计算器界面(个人感觉手动输入更…

文章目录 多项式的运算 多项式的加减法,数乘 多项式乘法 多项式求逆 多项式求导 多项式积分 多项式取对 多项式取exp 多项式开方 多项式的除法/取模 分治FFT 生成函数 相关题目 多项式的运算 多项式的加减法,数乘 这个大家应该都会吧 不推了. 直接上代码: friend inline poly operator+(const poly&a,const poly&b){ poly ret(max(a.deg(),b.deg())); for(ri i=0;i<=a.deg();…

[BZOJ3625/CF438E]小朋友和二叉树(多项式求逆,多项式开方) 题面 BZOJ CodeForces 大致题意: 对于每个数出现的次数对应的多项式\(A(x)\) 求\[f(x)=\frac{2}{\sqrt{-4A(x)+1}+1}\] 题解 多项式开方+多项式求逆模板题 我之前写的多项式求逆很丑,常数大的惊人 成功拿到洛谷模板题倒数第一的速度 于是,我学习了一波Gay神的写法 写了一下这道题目 具体的细节暂时不写了,以后肯定有机会的写的(这点我可以保证) #include<ios…

题面 传送门 思路 首先,我们把这个输入的点的生成函数搞出来: $C=\sum_{i=0}^{lim}s_ix^i$ 其中$lim$为集合里面出现过的最大的数,$s_i$表示大小为$i$的数是否出现过 我们再设另外一个函数$F$,定义$F_k$表示总权值为$k$的二叉树个数 那么,一个二叉树显然可以通过两个子树(可以权值为0,也就是空子树)和一个节点构成 那么有如下求$F$的式子 $F_0=1$ $F_k=\sum_{i=0}^k s_i \sum_{j=0}^{k-i} F_j F_{k-i-…

FFT求卷积(多项式乘法) 卷积 如果有两个无限序列a和b,那么它们卷积的结果是:\(y_n=\sum_{i=-\infty}^\infty a_ib_{n-i}\).如果a和b是有限序列,a最低的项为a0,最高的项为an,b同理,我们可以把a和b超出范围的项都设置成0.那么可以得出:y0=a0b0,y1=a1b0+a0b1,y2=a0b2+a1b1+a2b0--,y(n+m)=a(n)b(m). 构造两个多项式A(x)和B(x): \(A=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}…

题目描述 一元nn次多项式可用如下的表达式表示: 其中,a_ix^iai​xi称为ii次项,a_iai​ 称为ii次项的系数.给出一个一元多项式各项的次数和系数,请按照如下规定的格式要求输出该多项式: 多项式中自变量为xx,从左到右按照次数递减顺序给出多项式. 多项式中只包含系数不为00的项. 如果多项式nn次项系数为正,则多项式开头不出现"++"号,如果多项式nn次项系 数为负,则多项式以"-−"号开头. 4. 对于不是最高次的项,以"++"号…

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2281 题目的意思很简单,输入两个系数.指数都是整数,变量都是大写字母的多项式,求他们的加法结果和乘法结果. 按照题目的意思模拟,先设计我们需要的类. 单项式 一个单项式由系数以及各个变量的指数组成,为了简单起见他们都是带符号数. 多项式 一个多项式由一个单项式的向量组成. 然后实现一些细节就可以了: #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typede…

题目描述 一元nn次多项式可用如下的表达式表示: 其中,a_i x^i 称为i次项,ai​ 称为i次项的系数.给出一个一元多项式各项的次数和系数,请按照如下规定的格式要求输出该多项式: 多项式中自变量为xx,从左到右按照次数递减顺序给出多项式. 多项式中只包含系数不为00的项. 如果多项式n次项系数为正,则多项式开头不出现“+”号,如果多项式n次项系 数为负,则多项式以“-”号开头. 4. 对于不是最高次的项,以“+”号或者“−”号连接此项与前一项,分别表示此项 系数为正或者系数为负.紧跟一个正…

一元 n 次多项式可用如下的表达式表示: 其中,aixi 称为i次项,ai称为i次项的系数.给出一个一元多项式各项的次数和系数,请按照如下规定的格式要求输出该多项式: 多项式中自变量为x,从左到右按照次数递减顺序给出多项式. 多项式中只包含系数不为0 的项. 如果多项式n 次项系数为正,则多项式开头不出现"+"号,如果多项式n 次项系数为负,则多项式以"-"号开头. 对于不是最高次的项,以"+"号或者"-"号连接此项与前一项,…

目录 一.题意理解 二.求解思路 三.多项式的表示 3.1 数组 3.2 链表 四.程序框架搭建 五.如何读入多项式 六.如何将两个多项式相加 七.如何将两个多项式相乘 八.如何将多项式输出 一.题意理解 设计函数分别求两个一元多项式的乘积与和,例: \[ \text{已知以下两个多项式:} \\ \begin{align} & 3x^4-5x^2+6x-2 \\ & 5x^{20}-7x^4+3x \end{align} \] \[ \text{多项式和为:} \\ 5x^{20}-4x…

预备知识:FFT/NTT 多项式的逆 给定一个多项式 F(x)F(x)F(x),请求出一个多项式 G(x)G(x)G(x),满足 F(x)∗G(x)≡1(mod xn)F(x)*G(x) \equiv 1(mod\ x^n)F(x)∗G(x)≡1(mod xn). 系数对 998244353998244353998244353 取模,1≤n≤1051≤n≤10^51≤n≤105 首先将多项式的长度拓展至222的次幂,然后我们要求的是 G(x)∗F(x)≡1 (mod xn)G(x)*F(x) \…

咕咕咕 先开个坑(其实是存模板来了) 一些特别简单的前置东西qwq 复数的计算 复数相加:向量相加,复数相乘.复数相乘:模长相乘,旋转量相加(就是复平面坐标轴逆时针旋转的角度) (当然也可以直接使用complex类,.real()即取实数部分) 单位根 主n次单位根:\(w_n=e^{2\pi i/n}\) n个n次单位复数根可以用\(w_n^0,w_n^1,...,w_n^{n-1}\) 性质 n次单位根的次幂还是n次单位根 \(w_n^n=1\),n为偶数时\(w_n^{n/2}=-1\)…

试试以二级标题为主的格式. 多项式相关 注:本篇博客不包含\(FFT\)基础姿势.如果您想要阅读本篇博客,请确保自己对\(FFT,NTT\)有基本的认识并且能够独立写出代码. 多项式是什么? 左转数学七年级上册课本. 多项式的两种表示法 系数表示法和点值表示法,过于基础不多解释. 多项式的四则运算及扩展 多项式加减法 同类项直接进行加减即可,过于简单不多解释. 多项式乘法 朴素算法:\(O(n^2)\). 分治乘法:没写过,不常用,不知道. 快速傅里叶变换(\(FFT\)):\(O(nlogn)…