数列的通项公式$a_n$的求法

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数列的通项公式$a_n$的求法

前言求数列的通项公式,其本质是求函数的解析式.重点理解内涵. 求解必备你见到这样的式子$a_{n+1}-a_n = m$ ($m$常数)你一定会反应出是等差数列,那么见到 $S_{n+1}-S_n = m$ ($m$常数)还能看出来是等差数列吗,所以你还需要特别注意:对代数式$a_{n+1}-a_n = m$或$\cfrac{a_{n+1}}{a_n} = m$ ($m$常数)中$a_{n+1}$和$a_n$的"内涵"的理解.引例如下: ①\(\…

hdu4549 M斐波那契数列矩阵快速幂+快速幂

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列,它的定义如下: F[0] = aF[1] = bF[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 ) 现在给出a, b, n,你能求出F[n]的值吗? 通过简单地列出若干项 F 即可发现,某一项的值是由若干 a 和 b 相乘得到的,而他们的指数是连续的两项斐波那契数. 因此可以通过斐波那契数列的矩阵快速幂求法得到,注意需要指数的降幂公式. #include<stdio.h> #include<string.h> typedef…

【洛谷P1939】矩阵加速模板

数列的前$n$项和$S_n$的求法

相关公式 ①等差数列的$S_n=\cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\cfrac{n(n-1)\cdot d}{2}$ ②等比数列的$S_n=\left\{\begin{array}{l}{na_1,q=1}\\{\cfrac{a_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1-a_nq}{1-q},q\neq 1}\end{array}\right.$ ③$1+2+3+\cdots+ n=\cfrac{n(n+1)}{2}$: ④\(1+3+5+\…

C#斐波那契数列求法（比较阶乘和循环所用时间）

using System; namespace ConsoleApp3 { class Program { static void Main(string[] args) { Console.Write("你要输入多少项?"); int a = Convert.ToInt32(Console.ReadLine()); Console.WriteLine(); DateTime dt1 = System.DateTime.Now; ; i <= a; i++) { Console.…

从$a_n=f(n)$的角度理解数列中的表达式$a_{n+1}=\frac{k}{a_n}$

函数周期性前面我们学习过函数的周期性的给出方式: $f(x+a)=f(x)$ $\hspace{2cm}$ $T=a$ $f(x+a)=-f(x)$ $\hspace{2cm}$ $T=2a$ 推导:$f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=- - f(x)=f(x)$,所以$T=2a$ $f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\ne 0)$ $\hspace{2cm}$ $T=2a$ 推导:\(f(x+2a)=f[(x+a)…

浅谈矩阵加速——以时间复杂度为O(log n）的算法实现裴波那契数列第n项及前n之和使用矩阵加速法的优化求法

首先请连矩阵乘法乘法都还没有了解的同学简单看一下这篇博客: https://blog.csdn.net/weixin_44049566/article/details/88945949 首先直接暴力求使用O(n)的时间复杂度肯定是不行的,所以我们应该使用更优的时间复杂度. 设f(n)为裴波那契数列第n项.让我们来构造两个矩阵: 和. 现在我们不妨将两个矩阵相乘,化简过后可以得到:,也就是. 如果再将得到的新矩阵乘以,便可以得到. 也就是我们想得到第n项,就可以这么实现:,也就是. 看到幂我们就可…