一.一些概念 线性相关:其中一个向量可以由其他向量线性表出. 线性无关:其中一个向量不可以由其他向量线性表出,或者另一种说法是找不到一个X不等于0,能够使得AX=0.如果对于一个矩阵A来说它的列是线性无关的,则AX=0,只有0解,此时矩阵A可逆. 秩:线性无关向量个数. 基: 特征向量:向量X经过矩阵A旋转后,与原来的X共线,.即为特征值,表示向量的伸缩.如果把矩阵看成进行线性变化的矩阵(旋转,拉伸),那么特征向量就是这样一种向量,它经过这种特定的变换后保持方向不变,只是进行长度上的伸缩而已.反…

PCA中的SVD 1 PCA中的SVD哪里来? 细心的小伙伴可能注意到了,svd_solver是奇异值分解器的意思,为什么PCA算法下面会有有关奇异值分解的参数?不是两种算法么?我们之前曾经提到过,PCA和SVD涉及了大量的矩阵计算,两者都是运算量很大的模型,但其实,SVD有一种惊人的数学性质,即是它可以跳过数学神秘的宇宙,不计算协方差矩阵,直接找出一个新特征向量组成的n维空间,而这个n维空间就是奇异值分解后的右矩阵(所以一开始在讲解降维过程时,我们说”生成新特征向量组成的空间V",并非巧合,而…

如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换,不对这些向量产生旋转的效果,那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量,伸缩的比例就是特征值.这里可以将特征值为负,特征向量旋转180度,也可看成方向不变,伸缩比为负值.所以特征向量也叫线性不变量 PCA的物理意义: 各种不同的信号(向量)进入这个系统中后,系统输出的信号(向量)就会发生相位滞后.放大.缩小等各种纷乱的变化.但只有特征信号(特征向量)被稳定的发生放大(或缩小)的变化.如果把系统的输出端口接入输入端口,那么只有特征信号(特征向量)第二次被放大…

  主要参考:https://www.zhihu.com/question/38417101/answer/94338598 http://blog.jobbole.com/88208/ 先说下PCA的主要步骤:假设原始数据是10(行,样例数,y1-y10)*10(列,特征数x1-x10)的(10个样例,每样例对应10个特征)(1).分别求各特征(列)的均值并对应减去所求均值. (2).求特征协方差矩阵.<img src="https://pic2.zhimg.com/cc…

一.K-L变换 说PCA的话,必须先介绍一下K-L变换了. K-L变换是Karhunen-Loeve变换的简称,是一种特殊的正交变换.它是建立在统计特性基础上的一种变换,有的文献也称其为霍特林(Hotelling)变换,因为他在1933年最先给出将离散信号变换成一串不相关系数的方法.K-L变换的突出优点是它能去相关性,而且是均方误差(Mean Square Error,MSE)意义下的最佳变换. 下面就简单的介绍一下K-L变换了. 设,随机向量X ∈Rn(n阶列向量),它的均值向量为mX,则其协…

一.特征向量/特征值 Av = λv 如果把矩阵看作是一个运动,运动的方向叫做特征向量,运动的速度叫做特征值.对于上式,v为A矩阵的特征向量,λ为A矩阵的特征值. 假设:v不是A的速度(方向) 结果如上,不能满足上式的. 二.协方差矩阵 方差(Variance)是度量一组数据分散的程度.方差是各个样本与样本均值的差的平方和的均值. 协方差(Covariance)是度量两个变量的变动的同步程度,也就是度量两个变量线性相关性程度.如果两个变量的协方差为0,则统计学上认为二者线性无关.而方差是协方差的…

本文是对PCA和SVD学习的整理笔记,为了避免很多重复内容的工作,我会在介绍概念的时候引用其他童鞋的工作和内容,具体来源我会标记在参考资料中. 一.PCA (Principle component analysis) PCA(主成分分析)通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,可用于提取数据的主要特征分量,常用于高维数据的降维. 为什么需要降维?以下图为例,图c中的点x y 呈现明显线性相关,假如以数据其实以数据点分布的方向的直线上的投影(一维)已经能够很好的描述这组数据特点了 .…

PCA PCA(Principal Component Analysis,主成分分析)是一种常用的数据分析方法.PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,可用于提取数据的主要特征分量,常用于高维数据的降维.网上关于PCA的文章有很多,但是大多数只描述了PCA的分析过程,而没有讲述其中的原理.这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理,帮助读者了解PCA的工作机制是什么. 当然我并不打算把文章写成纯数学文章,而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学原理,所以整个文章不会引入严格的…

PCA(主成分分析法) 1. PCA(最大化方差定义或者最小化投影误差定义)是一种无监督算法,也就是我们不需要标签也能对数据做降维,这就使得其应用范围更加广泛了.那么PCA的核心思想是什么呢? 例如D维变量构成的数据集,PCA的目标是将数据投影到维度为K的子空间中,要求K<D且最大化投影数据的方差.这里的K值既可以指定,也可以利用主成分的信息来确定. PCA其实就是方差与协方差的运用. 降维的优化目标:将一组 N 维向量降为 K 维,其目标是选择 K 个单位正交基,使得原始数据变换到这组基上后,…

PCA(Principal Component Analysis)是一种常用的数据分析方法.PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,可用于提取数据的主要特征分量,常用于高维数据的降维.网上关于PCA的文章有很多,但是大多数只描述了PCA的分析过程,而没有讲述其中的原理.这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理,帮助读者了解PCA的工作机制是什么. 当然我并不打算把文章写成纯数学文章,而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学原理,所以整个文章不会引入严格的数学推导.希望读者在…

PCA(Principal Component Analysis)是一种常用的数据分析方法.PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,可用于提取数据的主要特征分量,常用于高维 数据的降维.网上关于PCA的文章有很多,但是大多数只描述了PCA的分析过程,而没有讲述其中的原理.这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理,帮助 读者了解PCA的工作机制是什么. 当然我并不打算把文章写成纯数学文章,而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学原理,所以整个文章不会引入严格的数学推导.希望读…

PCA(Principal Component Analysis)是一种常用的数据分析方法.PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,可用于提取数据的主要特征分量,常用于高维数据的降维.网上关于PCA的文章有很多,但是大多数只描述了PCA的分析过程,而没有讲述其中的原理.这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理,帮助读者了解PCA的工作机制是什么. 当然我并不打算把文章写成纯数学文章,而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学原理,所以整个文章不会引入严格的数学推导.希望读者在…

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关键字:SVD.奇异值分解.降维.基于协同过滤的推荐引擎作者:米仓山下时间:2018-11-3机器学习实战(Machine Learning in Action,@author: Peter Harrington)源码下载地址:https://www.manning.com/books/machine-learning-in-actionhttps://github.com/pbharrin/machinelearninginaction ****************************…

PCA——主成分分析 简介 PCA全称Principal Component Analysis,即主成分分析,是一种常用的数据降维方法.它可以通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,以此来提取数据的主要线性分量. z=wTx  其中,z为低维矩阵,x为高维矩阵,w为两者之间的映射关系.假如我们有二维数据(原始数据有两个特征轴——特征1和特征2)如下图所示,样本点分布为斜45°的蓝色椭圆区域. PCA算法认为斜45°为主要线性分量,与之正交的虚线是次要线性分量(应当舍去以达到降维的目…

PCA(Principal Component Analysis)是一种常用的数据分析方法.PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,可用于提取数据的主要特征分量,常用于高维数据的降维.网上关于PCA的文章有很多,但是大多数只描述了PCA的分析过程,而没有讲述其中的原理.这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理,帮助读者了解PCA的工作机制是什么. 当然我并不打算把文章写成纯数学文章,而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学原理,所以整个文章不会引入严格的数学推导.希望读者在…

PCA的数学原理(非常值得阅读)!!!!   PCA(Principal Component Analysis)是一种常用的数据分析方法.PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,可用于提取数据的主要特征分量,常用于高维数据的降维.网上关于PCA的文章有很多,但是大多数只描述了PCA的分析过程,而没有讲述其中的原理.这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理,帮助读者了解PCA的工作机制是什么. 当然我并不打算把文章写成纯数学文章,而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学原理,…

  PCA的数学原理(转) 1 年前 PCA(Principal Component Analysis)是一种常用的数据分析方法.PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,可用于提取数据的主要特征分量,常用于高维数据的降维.网上关于PCA的文章有很多,但是大多数只描述了PCA的分析过程,而没有讲述其中的原理.这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理,帮助读者了解PCA的工作机制是什么. 当然我并不打算把文章写成纯数学文章,而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学原理,所以整个…

PCA(Principal Component Analysis)是一种常用的数据分析方法.PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,可用于提取数据的主要特征分量,常用于高维数据的降维.网上关于PCA的文章有很多,但是大多数只描述了PCA的分析过程,而没有讲述其中的原理.这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理,帮助读者了解PCA的工作机制是什么. 当然我并不打算把文章写成纯数学文章,而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学原理,所以整个文章不会引入严格的数学推导.希望读者在…

相关博客: 吴恩达机器学习笔记(八) —— 降维与主成分分析法(PCA) <机器学习实战>学习笔记第十三章 —— 利用PCA来简化数据 奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用 机器学习(29)之奇异值分解SVD原理与应用详解 主要内容: 一.SVD简介 二.U.∑.VT三个矩阵的求解 三.U.∑.VT三个矩阵的含义 四.SVD用于PCA降维 五.利用SVD优化推荐系统 六.利用SVD进行数据压缩 一.SVD简介 1.SVD分解能够将任意矩阵着矩阵(m*n)分解成三个矩阵U(m*m).Σ(m*…

PCA(Principal Component Analysis)是一种常用的数据分析方法.PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,可用于提取数据的主要特征分量,常用于高维数据的降维.网上关于PCA的文章有很多,但是大多数只描述了PCA的分析过程,而没有讲述其中的原理.这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理,帮助读者了解PCA的工作机制是什么. 当然我并不打算把文章写成纯数学文章,而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学原理,所以整个文章不会引入严格的数学推导.希望读者在…

一.PCA算法的原理 PCA(principle component analysis),即主成分分析法,是一个非监督的机器学习算法,是一种用于探索高维数据结构的技术,主要用于对数据的降维,通过降维可以发现更便于人理解的特征,加快对样本有价值信息的处理速度,此外还可以应用于可视化(降到二维)和去噪. PCA本质上是将方差最大的方向作为主要特征,并且在各个正交方向上将数据“离相关”,也就是让它们在不同正交方向上没有相关性.                                      …

PCA的数学原理 前言 数据的向量表示及降维问题 向量的表示及基变换 内积与投影 基 基变换的矩阵表示 协方差矩阵及优化目标 方差 协方差 协方差矩阵 协方差矩阵对角化 算法及实例 PCA算法 实例 进一步讨论 前言 PCA(Principal Component Analysis)是一种常用的数据分析方法.PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,可用于提取数据的主要特征分量,常用于高维数据的降维.网上关于PCA的文章有很多,但是大多数只描述了PCA的分析过程,而没有讲述其中…

1.原理和概念 PCA(Principal Component Analysis),即主成分分析方法,是一种使用最广泛的数据降维算法. PCA的主要思想是将n维特征映射到k维上,这k维是全新的正交特征也被称为主成分,是在原有n维特征的基础上重新构造出来的k维特征. PCA的工作就是从原始的空间中顺序地找一组相互正交的坐标轴,新的坐标轴的选择与数据本身是密切相关的. 其中,第一个新坐标轴选择是原始数据中方差最大的方向,第二个新坐标轴选取是与第一个坐标轴正交的平面中使得方差最大的,第三个轴是与第1,…

链接1 链接2(原文地址) PCA的数学原理(转) PCA(Principal Component Analysis)是一种常用的数据分析方法.PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,可用于提取数据的主要特征分量,常用于高维数据的降维.网上关于PCA的文章有很多,但是大多数只描述了PCA的分析过程,而没有讲述其中的原理.这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理,帮助读者了解PCA的工作机制是什么. 当然我并不打算把文章写成纯数学文章,而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学…

参考:http://blog.csdn.net/wangjian1204/article/details/50642732 参考:https://www.zhihu.com/question/38319536 对角化的概念: 已知n x n的矩阵M,如果对于i≠j,Mij=0,则该矩阵为对角矩阵,如果存在一个矩阵A,使得A-1MA的结果为对角矩阵,则称矩阵A将矩阵M对角化.对一个矩阵来说,不一定存在将其对角化的矩阵,但是对于任意一个n x n的矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量,则该矩阵可以被…

PCA算法 算法步骤: 假设有m条n维数据. 1. 将原始数据按列组成n行m列矩阵X 2. 将X的每一行(代表一个属性字段)进行零均值化,即减去这一行的均值 3. 求出协方差矩阵C=1/mXXT 4. 求出协方差矩阵的特征值以及对应的特征向量 5. 将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵,取前k行组成矩阵P 6. Y=PX即为降维到k维后的数据 实例 以这个为例,我们用PCA的方法将这组二维数据降到一维 因为这个矩阵的每行已经是零均值,所以我们可以直接求协方差矩阵: 然后求其特征值和特…

降维是机器学习中十分重要的部分,降维就是通过一个特定的映射(可以是线性的或非线性的)将高维数据转换为低维数据,从而达到一些特定的效果,所以降维算法最重要的就是找到这一个映射.主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)是一种最经典,也是最简单的降维算法.PCA可以保证降维之后,重构回原数据的效果最好,因此广泛用于对高维数据的预处理. 1. 一个投影的PCA求解 设样本矩阵为\(X=[x_1,x_2,\cdots,x_n]\in \mathbb R^{m\tim…

传统的OLS(普通最小二乘)方法无法解决样本数据的共线性(multicollinearity)问题,如果你的数据样本中每个特征变量具有共线性,那么使用基于PCA的PCR和PLSR方法对数据样本进行回归建立模型将会是一个不错的选择.PCA是一种数据降维方式,但同时保持了原始数据降维后的特性:PCR是在降维后的数据空间(英文里常称为score)上进行OLSR(普通最小二乘回归),然后将回归系数矩阵转化为原始空间:PLSR则可以看成改进版的PCR,该方法通过X和Y数据集的交叉投影方法使得回归模型兼顾到…