别问我为啥突然刷了道OI题,也别问我为啥花括号不换行了... 题目描述 求含 $n$ 个碳原子的本质不同的烷基数目模 $998244353$ 的结果.$1\le n\le 10^5$ . 题解 Burnside引理+多项式牛顿迭代 不考虑同构的话,很容易想到dp方程 $\begin{cases}f_0=1\\f_i=\sum\limits_{j+k+l+1=i}f_jf_kf_l\end{cases}$ . 考虑同构,可以通过容斥原理,大力讨论一下容斥系数.一个更简单的方法是考虑Burnside…

传送门. 不妨设\(A(x)\)表示答案. 对于一个点,考虑它的三个子节点,直接卷起来是\(A(x)^3\),但是这样肯定会计重,因为我们要的是无序的子节点. 那么用burnside引理,枚举一个排列,一个环的选择要相同,如果环的大小是y,则对应\(A(x^y)\). 最后可以得到: \(A(x)=x{A(x)^3+3A(x^2)A(x)+2A(x^3)\over 6}+1\) 分治NTT可以解这个方程,不过因为有3次的,比较复杂,考虑用牛顿迭代: \(F(A(x))=x{A(x)^3+3A(x…

Description 众所周知,大连 24 中是一所神奇的学校,在那里,化竞的同学很多都擅长写代码. 有一天,化学不及格的胡小兔向化竞巨佬晴岚请教化学题: “n 个碳原子的烷基共有多少种同分异构体?” 刚刚得了化竞全市第一的晴岚听了,认为这道题十分简单,建议胡小兔写个程序解决这个问题.但胡小兔弱得连什么是同分异构体都不知道,于是晴岚给胡小兔画了个图——例如 n=4 时(即丁基),有 4 种同分异构体: 同理,其他常见烷基同分异构体数目如下表: n 1 2 3 4 5 6 同分异构体数目 1 1…

参考:刘汝佳<算法竞赛入门经典训练指南> 感觉是非常远古的东西了,几乎从来没有看到过需要用这个的题,还是学一发以防翻车. 置换:排列的一一映射.置换乘法相当于函数复合.满足结合律,不满足交换律. 置换的循环分解:即将置换看成一张有向图,分解成若干循环.循环的数量称为循环节. 以置换集合来描述等价关系.如果存在一个置换将一个方案映射到另一个方案,则这两个方案等价.置换集合应当构成置换群. 不动点:方案s经过置换f不变,则s为f的不动点. Burnside引理:等价类数量=所有置换的不动点数量的平…

https://www.luogu.org/problemnew/solution/P4002 神树的题解写的很清楚了.稍微补充: 1.[x^i]ln(A(ax))=a^i[x^i]ln(A(x)),感觉直接证并非那么显然,大约是先求出多项式再把ax作为自变量带回去. 2.最后一句中的式子,即考虑由ai组成的|S|=k的S集合在xk中被统计了几次,容易发现仅当这个Σ∏(1-ajx) (i=1~n,j≠i)中的ai不在S中出现会被统计一次,于是统计次数为n-k,所以乘上n-k即为所要的系数. #i…

洛谷题面传送门 神仙题 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 题解搬运人来了 首先看到本质不同(无标号)的图计数咱们可以想到 Burnside 引理,具体来说,我们枚举一个排列 \(p\),并统计有多少张图中的点集在置换 \(p\) 的作用下能够保持不变,记这个数目为 \(c(p)\),那么答案就是 \(\dfrac{1}{n!}\sum\limits_{p}c(p)\).由于此题 \(n\) 高达 \(50\),因此暴力枚举 \(p\) 显然是不合理的,不过注意到合法的图的数量并不取决于…

题目链接 https://www.luogu.org/problem/P5564 题解 这题最重要的一步是读明白题. 为了方便起见下面设环长可以是\(1\), 最后统计答案时去掉即可. 实际上就相当于如果只有树没有环,答案就是卡特兰数第\((n-1)\)项.令\(C(x)\)为Catalan数生成函数,\(T(x)\)为这种树的生成函数,则\(T(x)=xC(x)\). 然后环的话可以考虑Burnside引理,首先枚举环长,枚举置换,易得答案为\(\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}\…

Problem 起源: SGU 294 He's Circle 遗憾的是,被吃了. Poj有道类似的: Mission 一个长度为n(1≤n≤24)的环由0,1,2组成,求有多少本质不同的环. 实际上,如果使用高精度,那么n可以到1e6级别 群 定义 一个集合G,以及一个二元运算∗. 并且满足: 封闭性 如果a∈G,b∈G,那么a∗b∈G 结合律 如果a∈G,b∈G,c∈G,那么a∗b∗c=a∗(b∗c) 存在单位元 存在c∈G,使得b∗c=c∗b=c 那么c就称为G的单位元. 类似于加法运算中…

提示: 本文并非严谨的数学分析,有很多地方是自己瞎口胡的,仅供参考.有错误请不吝指出 :p 1. 群 1.1 群的概念 群 \((S,\circ)\) 是一个元素集合 \(S\) 和一种二元运算 $ \circ $ 的合称,其满足以下性质. 封闭性 对于 \(\forall a,b \in S\) , \(\exist c \in S\) 使得 \(c = a \circ b\) 结合律 对于 \(\forall a,b,c \in S\) , \(a \circ (b \circ c) = (…

题目链接 (Luogu) https://www.luogu.org/problem/P4727 (BZOJ) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1488 题解 Burnside引理经典题. 首先考虑一个\(O(n!\times poly(n))\)暴力: 枚举点的置换,然后计算在置换下保持不变的图的个数. 把置换拆成若干个轮换. (1) 考虑轮换内部: 假设一轮换为\((a_1\ a_2\ ...\ a_n)\), 那么\((a_…