Min-Max 容斥的证明

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Min-Max 容斥的证明

这里有 Min-Max 容斥的证明以及唯一一道博主做过的例题... 上个结论: \[Min\{S\}=\sum_{T\subseteq S,T\not=\varnothing}(-1)^{|T|-1}Max\{T\} \] \[Max\{S\}=\sum_{T\subseteq S,T\not=\varnothing}(-1)^{|T|-1}Min\{T\} \] 具体的证明其实很简单...我们考虑证明其中一个(以第一个为例),另一个可以用类似证法得到结论.咱直接考虑集合内元素不重的情况,因为相…

min-max 容斥

$\min - \max$ 容斥 Part 1 对于简单的$\min - \max$容斥有一般形式,表达为:$\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\times \min(T)$ 对于上述式子,可以简单的理解. 对于$S$中的每一项,其中的最大值为第$i$项由于$|T|$非空,一共有$2^{|S|}-1$个$T$,其中,对于非最大值的任意一项,都包含至少一个比其大的元素所以这些元素的选择情况构成了$2^{k}$幂,其中$|T|$的奇偶分布…

Min-max 容斥与 kth 容斥

期望的线性性: \[E(x+y)=E(x)+E(y) \] 证明: \[E(x+y)=\sum_i \sum_j(i+j)*P(i=x,j=y) \] \[=\sum_i\sum_ji*P(i=x,j=y)+\sum_i\sum_jj*P(i=x,j=y) \] \[=\sum_ii*P(i=x)+\sum_jj*P(j=y) \] \[=E(x)+E(y) \] Min - Max 容斥: 我们现在有一个全集 $U= \lbrace{a_1,a_2,a_3,...,a_n}\rbrace$…

[总结] Min-Max容斥学习笔记

min-max 容斥给定集合 $S$ ,设 $\max(S)$ 为 $S$ 中的最大值,$\min(S)$ 为 $S$ 中的最小值,则: \[\max(S)=\sum_{T\in S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\] 这个东西叫 min-max容斥. 证明可以拿二项式反演证例题 hdu4336 Card Collector 题目有 $n$ 种卡片,每一秒都有 $P_i$ 的概率获得一张第 $i$ 种卡片,求每张卡片都至少有一张的期望时间. 记 \(…

【Luogu4707】重返现世（min-max容斥）

[Luogu4707]重返现世(min-max容斥) 题面洛谷求全集的$k-max$的期望题解 $min-max$容斥的证明不难,只需要把所有元素排序之后考虑组合数的贡献,容斥系数先设出来后也不难解出. 那么我们来考虑如何求解$k-max$,设出容斥系数$f(|T|)$ \[kmax(S)=\sum_{T\subset S}f(|T|)min(T)\] 显然是从小到大考虑每个元素作为$min$时候的贡献,并且我们只需要其中第$k$大的贡献. 假设$n=|S|$,…

UOJ 422 - 【集训队作业2018】小Z的礼物（Min-Max 容斥+轮廓线 dp）

题面传送门本来说要找道轮廓线 $dp$ 的题目刷刷来着的?然后就找到了这道题. 然鹅这个题给我最大的启发反而不在轮廓线 $dp$,而在于让我新学会了一个玩意儿叫做 Min-Max 容斥. Min-Max 容斥大概讲的就是这样一件事情:对于任意集合 $S$,$\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S,T\ne\varnothing}(-1)^{|T|-1}\min(T)$,因为这个式子包含容斥系数 $(-1)^{|T|-1}$ 和集合的 \(\min…

从 0 开始的min_max容斥证明

二项式反演 \[f_n=\sum\limits_{i=0}^nC^i_ng_i \Leftrightarrow g_n=\sum\limits_{i=0}^n{(-1)}^{n-i}f_i \] 证明: 容斥原理 \[|A_1 \cup A_2\cup\cdots\cup A_n|=\sum\limits_{1\le i\le n}|A_i|-\sum\limits_{1\le i<j\le n}|A_i\cap A_j|+\cdots+(-1)^{n-1}\times |A_1\cap A_2…