回文树/回文自动机 放链接: 回文树或者回文自动机,及相关例题 - F.W.Nietzsche - 博客园 状态数的线性证明 并没有看懂上面的证明,所以自己脑补了一个... 引理: 每一个回文串都是字符串某个前缀的最长回文后缀. 证明. 考虑一个回文串在字符串中第一次出现的位置, 记为 \(S_{p_1 ... p_2}\), 它一定是 \(S_{1 ... p_2}\)的最长回文后缀. 否则, 如果有 \(S_{p_3 ... p_2} (p_3<p_1)\) 也为回文串, 那么由于回文, \…

 Palindromes and Super Abilities Problem's Link: http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1960 Mean: 给你一个长度为n的字符串S,输出S的各个前缀中回文串的数量. analyse: 回文树(回文自动机)的模板题. 由于回文自动机中的p是一个计数器,也相当于一个指针,记录的是当前插入字符C后回文树中有多少个节点. 那么我们只需要一路插,一路输出p-2就行. p-2是因为一开始回文树中就有两个…

回文树学习博客:lwfcgz    poursoul 边写边更新,大概会把回文树总结在一个博客里吧... 回文树的功能 假设我们有一个串S,S下标从0开始,则回文树能做到如下几点: 1.求串S前缀0~i内本质不同回文串的个数(两个串长度不同或者长度相同且至少有一个字符不同便是本质不同) 2.求串S内每一个本质不同回文串出现的次数 3.求串S内回文串的个数(其实就是1和2结合起来) 4.求以下标i结尾的回文串的个数 每个变量的含义 1.len[i]表示编号为i的节点表示的回文串的长度(一个节点表示…

回文树(也就是回文自动机)实际上是奇偶两棵树,每一个节点代表一个本质不同的回文子串(一棵树上的串长度全部是奇数,另一棵全部是偶数),原串中每一个本质不同的回文子串都在树上出现一次且仅一次. 一个节点的fail指针指向它的最长回文后缀(不包括自身,所有空fail均连向1).归纳容易证明,当在原串末尾新增一个字符时,回文树上至多会新增一个节点,这也证明了一个串本质不同的回文子串个数不会超过n. 建树时采用增量构造法,当考虑新字符s[i]时,先找到以s[i-1]为结尾的节点p,并不断跳fail.若代表…

BZOJ 3676 回文串 Problem's Link: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3676 Mean: 略 analyse: 由于构造完回文自动机后,len[i]表示第i个回文串的长度,cnt[i]表示第i个回文串出现的次数,只需两者相乘去最大就可. 注意:i是从2开始,因为有两个长度为0和长度为-1的节点. Time complexity: O(N) Source code:  ; ; ; ;             ;…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3676 另一种更简单更快常数更小的写法,很神奇……背板子. #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #include<map> using namespace std; ; char ch[maxn]…

前置知识 首先你得会manacher,并理解manacher为什么是对的(不用理解为什么它是$O(n)$,这个大概记住就好了,不过理解了更方便做$PAM$的题) 什么是回文自动机? 回文自动机(Palindrome Automaton),是一类有限状态自动机,能识别一个字符串的所有回文子串 它可简化构建出回文树 回文自动机的构造 网上资料很多,不拿出来一步步说了,说一下数组意义.放个板子 $len[u]$表示节点$u$代表的回文串的长度 $ch[u][c]$代表在$u$的回文串两端添加字符$c$…

第一个能看懂的论文:国家集训队2017论文集 这是我第一个自己理解的自动机(AC自动机不懂KMP硬背,SAM看不懂一堆引理定理硬背) 参考文献:2017国家集训队论文集 回文树及其应用 翁文涛 参考博客:回文树 一些定义 (回文)子串不包括空串. (回文)后缀不包括原串本身,如果找不到,就是空串. 定义 \(len[cur]\) 为 \(cur\) 节点的代表串长度,\(son[p][c]\) 表示一条转移路径,\(fail\) 表示失配指针. 定义 \(\Sigma\) 为字符集大小. \(c…

传送门 既然要求对每个前缀都求出答案,不难想到应该用回文树求出所有本质不同的回文子串. 然后考虑如何对这些回文子串的前缀进行去重. 结论:答案等于所有本质不同的回文子串长之和减去字典序相邻的回文子串的LCP长度之和. 这个结论其实不难理解.可以回忆后缀数组经典题目:求一个字符串本质不同的子串个数.道理是一样的. 然后就有思路了,从空串开始每次加一个字符,用一个set维护当前所有本质不同的回文子串(只存左右端点),如果产生了新的回文子串就扔进set里跟前驱后继xjb更新一下答案. 字典序比较用后缀…

处理回文串,Manacher算法也是很不错,但在有些问题的处理上比较麻烦,比如求本质不同的子串的数量还需要结合后缀数组才能解决.今天的们介绍一种能够方便的解决关于回文串的问题的算法--PAM. 一些功能: 假设我们有一个串S,S下标从0开始: 1.求串S前缀0~i内本质不同回文串的个数(两个串长度不同或者长度相同且至少有一个字符不同便是本质不同) 2.求串S内每一个本质不同回文串出现的次数 3.求串S内回文串的个数(其实就是1和2结合起来) 4.求以下标i结尾的回文串的个数 构建回文数树 那么我…

KMP,扩展KMP和Manacher就不写了,感觉没多大意思.   之前感觉后缀自动机简直可以解决一切,所以不怎么写后缀数组.   马拉车主要是通过对称中心解决问题,有的时候要通过回文串的边界解决问题,这个时候回文树就用到了,又好写,又强大.   之前整理过一篇后缀自动机的.感觉还要整理一下,顺便把回文树,后缀数组也整理一下 很久没写专题了,如果有空,把回文自动机也学习一下. 一:回文树 前置技能: 马拉车,KMP. 其实也没关系,就是对比一下. 马拉车是利用对称的思想,得到每个点或者空格为对称…

回文树,也叫回文自动机,是2014年被西伯利亚民族发明的,其功能如下: 1.求前缀字符串中的本质不同的回文串种类 2.求每个本质不同回文串的个数 3.以下标i为结尾的回文串个数/种类 4.每个本质不同回文串包含的本质不同回文串种类 (本文参考自Palindromic Tree——回文树[处理一类回文串问题的强力工具],Palindromic Tree 回文自动机-回文树 解决回文串的神器) 下面介绍一些数组的意义 next[][]类似于字典树,指向当前字符串在两段同时加上一个字符 fail[]…

3676: [Apio2014]回文串 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 3396  Solved: 1568[Submit][Status][Discuss] Description 考虑一个只包含小写拉丁字母的字符串s.我们定义s的一个子串t的“出 现值”为t在s中的出现次数乘以t的长度.请你求出s的所有回文子串中的最 大出现值. Input 输入只有一行,为一个只包含小写字母(a -z)的非空字符串s. Output 输出一个整…

[Aizu2292]Common Palindromes(回文树) 题面 Vjudge 神TMD日语 翻译: 给定两个字符串\(S,T\),询问\((i,j,k,l)\)这样的四元组个数 满足\(S[i,j],T[k,l]\)都是回文串并且\(S[i,j]=T[k,l]\) 题解 自己\(yy\)一下就会做了 回文树又叫做回文自动机,所以当然可以用来进行回文串的识别和匹配了 对于一个串构建\(PAM\)或者说回文树,统计一下每个回文串的出现次数 再用另外一个串在\(PAM\)上进行匹配,计算一下…

题面 Description 艾利斯顿商学院篮球队要参加一年一度的市篮球比赛了.拉拉队是篮球比赛的一个看点,好的拉拉队往往能帮助球队增加士气,赢得最终的比赛.所以作为拉拉队队长的楚雨荨同学知道,帮助篮球队训练好拉拉队有多么的重要.拉拉队的选拔工作已经结束,在雨荨和校长的挑选下,\(n\)位集优秀的身材.舞技于一体的美女从众多报名的女生中脱颖而出.这些女生将随着篮球队的小伙子们一起,和对手抗衡,为艾利斯顿篮球队加油助威.一个阳光明媚的早晨,雨荨带领拉拉队的队员们开始了排练.\(n\)个女生从左到右…

题目链接 题意 : 给出一个由数字组成的字符串.然后要你找出其所有本质不同的回文子串.然后将这些回文子串转化为整数后相加.问你最后的结果是多少.答案模 1e9+7 分析 : 应该可以算是回文树挺裸的题目吧 可惜网络赛的时候不会啊.看着马拉车想半天.卒... 对于每一个节点.记录其转化为整数之后的值 然后在回文串插入字符的时候 不断维护这个信息就行了 其实很好理解.看一下代码就懂了 ( 如果你学过回文树的话... ) 就是多加了变量 val .维护语句 #include<bits/stdc++.h…

The Problem to Slow Down You Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 256 MB 题目连接 http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=93645#problem/G Description http://7xjob4.com1.z0.glb.clouddn.com/76e435d3c21fa3cbeef1e76780086dc4 Input   Output Sample In…

[CF245H]Queries for Number of Palindromes(回文树) 题面 洛谷 题解 回文树,很类似原来一道后缀自动机的题目 后缀自动机那道题 看到\(n\)的范围很小,但是\(Query\)很多 所以提前预处理出每一段\(l,r\)的答案 时间复杂度\(O(n^2+Q)\) #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #includ…

https://vjudge.net/problem/UESTC-1999 题意 对于一个初始为空的字符串S,你可以进行以下两种操作: 1. 在S的末尾加一个小写字母. 2. 移除S的最后一个字母. 每进行完一个操作,你需要统计S中回文串的数量. 分析 模板题,每次跑一遍回文树 #include<cstdio> #include<string.h> #include<cstring> #include<string> using namespace std;…

https://vjudge.net/problem/HYSBZ-3676 题意 考虑一个只包含小写拉丁字母的字符串s.我们定义s的一个子串t的“出 现值”为t在s中的出现次数乘以t的长度.请你求出s的所有回文子串中的最 大出现值. 分析 回文树模板题 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <string> #inc…

https://nanti.jisuanke.com/t/30998 题意 给一串由0..9组成的数字字符串,求所有不同回文串的权值和.比如说“1121”这个串中有“1”,“2”,“11”,“121”三种回文串,他们的权值分别是1,2,11,121.最终输出ans=135. 分析 第一次知道马拉车是manacher...涨姿势了 在马拉车进行的过程中,进行子回文串的统计去重. 这里的哈希去重方法重点学习理解. #include <iostream> #include <cstdio>…

题目链接 \(Description\) 给定一棵\(Trie\).求\(Trie\)上所有回文串 长度乘以出现次数 的和.这里的回文串只能是从上到下的一条链. 节点数\(n\leq 2\times 10^6\),字符集为a,b,c,d. \(Solution\) 如果不是树,就是回文树模板.对于树,DFS \(x\)的每个儿子的时候都用在\(x\)处的\(las\)即可,也就是按深度存一个\(las\)数组,每次用\(las[dep-1]\)做\(las\)去插入即可.(也可以回溯的时候直接删…

题目链接 \(Description\) 给定两个串\(S,T\),求两个串有多少对相同回文子串. \(|S|,|T|\leq 2\times 10^5\). \(Solution\) 好菜啊QAQ 这都没想到 对两个串分别建回文树,两个串有相同的回文串当且仅当存在相同的节点. 所以分别从两棵树的两个根(\(0\)和\(1\))DFS,只走两棵树相同的节点,把经过节点的贡献加上就行了. 不要求本质不同,所以要更新一次val[fail[x]]. 把两个串用'$'接成一个串,直接建\(PAM\),分…

BZOJ 洛谷 求给定串的最长双回文串. \(n\leq10^5\). Manacher: 记\(R_i\)表示以\(i\)位置为结尾的最长回文串长度,\(L_i\)表示以\(i\)开头的最长回文串长度.答案就是\(\max\{R_i+L_{i+1}\}\).式子可能会有差别,因为Manacher会在里面加字符.当然我们直接只用'#'位置的\(L_i+R_i\)就可以更新答案啦. Manacher,然后对于位置\(i\),设它的最远延伸距离是\(ex_i\). 然后用\(i-j\)更新\(L_j…

A string is palindrome, if the string reads the same backward and forward. For example, strings like "a", "aa", "appa", "queryreuq" are all palindromes. For given empty string S, you should process following two que…

19.32% 1000ms 256000K A number is skr, if and only if it's unchanged after being reversed. For example, "12321", "11" and "1" are skr numbers, but "123", "221" are not. FYW has a string of numbers, each su…

回文树 Palindromic Tree 嗯..回文树是个什么东西呢. 回文树(或者说是回文自动机)每个节点代表一个本质不同的回文串. 首先它类似字典树,每个节点有SIGMA个儿子,表示对应的字母. 其次它类似自动机,有一个fail指针,一个节点的fail指针指向这个回文串的最长回文后缀.比如说abbaabba的fail指向abba的最后一个a. 利用回文树,我们可以在线性(不太确定是线性还是\(nlogn\)?)的时间内求出所有本质不同的回文子串,以及以每个字母结尾的最长回文子串. 有一个定理…

[CodeChef]Palindromeness(回文树) 题面 Vjudge CodeChef 中文版题面 题解 构建回文树,现在的问题就是要求出当前回文串节点的长度的一半的那个回文串所代表的节点 定义\(half\)表示长度最长并且长度小于等于当前节点长度一半的回文串所代表的节点 \(half\)的求法,如果当前点的\(len=1\),\(half\)不存在 否则,从构建回文树时的父亲节点(不是\(fail\)指针)所代表的那个点的\(half\)开始 暴力跳\(fail\),直到找到满足条…

写题遇上一棘手的题,[Apio2014]回文串,一眼看过后缀数组+Manacher.然后就码码码...过是过了,然后看一下[Status],怎么慢这么多,不服..然后就搜了一下,发现一种新东西——回文树. 回文树的功能: 假设我们有一个串S,S下标从0开始,则回文树能做到如下几点: 1.求串S前缀0~i内本质不同回文串的个数(两个串长度不同或者长度相同且至少有一个字符不同便是本质不同) 2.求串S内每一个本质不同回文串出现的次数 3.求串S内回文串的个数(其实就是1和2结合起来) 4.求以下标i…

题目描述 给你一个由小写拉丁字母组成的字符串 ss .我们定义 ss 的一个子串的存在值为这个子串在 ss 中出现的次数乘以这个子串的长度. 对于给你的这个字符串 ss ,求所有回文子串中的最大存在值. 输入输出格式 输入格式: 一行,一个由小写拉丁字母(a~z)组成的非空字符串 ss . 输出格式: 输出一个整数,表示所有回文子串中的最大存在值. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 abacaba 输出样例#1: 复制 7 输入样例#2: 复制 www 输出样例#2: 复制 4 说明 [样例解…