这儿只是一个简单说明/概括/总结. 原理见这: https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html https://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/9187319.html 首先计算\[g(n,j)=\sum_if(i),\quad i是质数\ 或\ i的最小质因子严格大于P_j\\g(n,j)=\begin{cases}g(n,j-1)&P_j^2\gt n\\ g(n,j-1)-f(P_j)\left[g(\frac{n}{P_j…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Min-25.html 前置技能 埃氏筛法 整除分块(这里有提到) 本文概要 1. 问题模型 2. Min_25 筛 3. 模板题以及模板代码 问题模型 有一个积性函数 $f$ ,对于所有质数 $p$,$f(p)$ 是关于 $p$ 的多项式,$f(p^k)$ 非常容易计算(不一定是关于 p 的多项式). 求 $$\sum_{i=1}^{n} f(i)$$ $n\leq 10^{10}$ ${\rm Time\…

看见ntf和pb两位大佬都来学了,然后就不自觉的来学了. 我们考虑这样一个问题. $$ans=\sum_{i=1}^nf(i)$$其中$1\leq n\leq 10^{10}$ 其中$f(i)$是一个非常奇怪的函数,并不像$\mu(i),\varphi(i),i\varphi(i)$那样具有那么好的性质.但是满足以下条件: 1.若$p$为质数,则$f(p)$是一个关于$p$的多项式,比如$\mu(p)=-1,\varphi(p)=p-1$. 2.若$p$为质数,$e$为正整数,则$f(p^e)$…

洲阁筛 给定一个积性函数$F(n)$,求$\sum_{i = 1}^{n}F(n)$.并且$F(n)$满足在素数和素数次幂的时候易于计算. 显然有: $\sum_{i = 1}^{n} F(n) = \sum_{i = 1}^{\sqrt{n}}F(i) \left(\sum_{\sqrt{n} < p\leqslant n/i, p\ is\ a\ prime} F(p) \right) + \sum_{i = 1, i\ has\ no\ prime\ factor\ greater\ th…

感觉好好用啊 Luogu上的杜教筛模版题一发 Min_25抢到了 rank1 $ Updated \ on 11.29 $被 STO txc ORZ踩爆啦 前言 $ Min$_$25$筛可以求积性函数的前缀和 要求$ f(p_i)为一个多项式,f(p_i^{k_i})可以快速计算$ 以下部分暂时忽略$ 1$,即只考虑最小质因子$ \geq 2$的那些数 先考虑素数贡献 我们定义$ sp(n)$表示$\sum\limits_{i=1}^n f(p_i)$即前$ n$个素数的积性函数和 这里我们先假…

\(Min\_25\)筛学习笔记 这种神仙东西不写点东西一下就忘了QAQ 资料和代码出处 资料2 资料3 打死我也不承认参考了yyb的 \(Min\_25\)筛可以干嘛?下文中未特殊说明\(P\)均指质数集合,\(p_i\)或\(p\)指某个具体质数. 求一类积性函数\(f(x)\)的前缀和,需要满足\(f(p)\)可以写成多项式的形式,或者操作一下可以写成多项式(如例题),且\(f(p^k)\)能快速求出. 讲真学这个东西比我什么都不会的时候学\(FFT\)都累. Round 1 先求质数的贡…

Powerful Number 筛学习笔记 用途 \(Powerful\ number\) 筛可以用来求出一类积性函数的前缀和,最快可以达到根号复杂度. 实现 \(Powerful\ number\) 的定义是每个质因子次数都 \(\ge 2\) 的数. 有如下的性质: \(1\).一个 \(Powerful\ number\) 一定可以表示为 \(a^2b^3\) 的形式. \(2\).\(n\) 以内的 \(Powerful\ number\) 个数是 \(O(\sqrt n)\) 级别的.…

前言 为什么叫学习小记呢?因为暂时除了模板题就没有做其他的东西了.(雾 这个东西折磨了我一整天,看得我身不如死,只好结合代码理解题解,差点死在机房.(话说半天综合半天竞赛真是害人不浅) 为了以后忘了再受荼毒,这里还是写一下,如果有人会看到的话,希望可以帮助到吧.(话说这个东西我已经拖了好久了啊!!!) (话说我怎么这么多话说啊?!!) Min_25 筛 这个东西是由聚聚\(\texttt{Min-25}\)发明了,所以我们称之为\(\texttt{Min-25}\)筛.(感觉有点民科了)那就不废…

Min_25筛简介 \(\text{min_25}\)筛是一种处理一类积性函数前缀和的算法. 其中这类函数\(f(x)\)要满足\(\sum_{i=1}^{n}[i\in prime]\cdot f(i)\)可以被\(\sum_{i=1}^{n}[i\in prime]\cdot i^k\)简单表示或者快速计算,其中\(k\)为较小的常数. 时间复杂度好像是\(O(\frac{n^{0.75}}{\log n})\),不过据说被证伪了...也有人说是\(O(n^{1-\epsilon})\),反…

min_25筛 由 dalao min_25 发明的筛子,据说时间复杂度是极其优秀的 \(O(\frac {n^{\frac 3 4}} {\log n})\),常数还小. 1. 质数 \(k\) 次方前缀和(基础) 求 \(\sum_{p \leq n}p^k\) 我们考虑一个 \(\rm DP\) 的思路:设 \(g(n,j)\) 为: \[\sum_{i=1}^n[(\sum_{t=1}^j[p_t|i])=0] i^k \] 其实就是不大于 \(n\) 的,且不含有 \(p_1\) ~…

最近重新系统地学了下这几个知识点,以前没发现他们的联系,这次总结一下. 莫比乌斯反演入门:https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050 线性筛筛常见积性函数及其代码:https://blog.masterliu.net/algorithm/sieve/ 积性函数与线性筛(包括普通线性函数):https://blog.csdn.net/weixin_42562050/article/details/87997582 bzoj2154/b…

min25筛简介:用来求积性函数F(x)前缀和的,复杂度O(n0.75/logn),大概能求n<=1010. 记一个数x的最小质因子为R(x),所以当x不为质数时,R(x)<=√x这是废话. 首先求所有质数的F(x)和,下设g(i,j)=ΣF(x),其中2<=x<=i,且x为质数或R(x)>pri[j],其中pri[j]为第j个质数.其实,j的取值至多√n个显而易见,下面可以发现最终状态是g(i,tot),其中tot为√n以内的质数个数.初始化g(i,0),即将所有数视为质数…

仅仅是 \(min25\) 筛最基本的方法,没有任何推式子的例题.(想了想还是加两道吧qwq) 这里解决的是 \(Luogu\) 那道模板题. min25 基本方法: 最基础的是两个式子: \[G(n,m): 所有合数 \space x \le n \space 的最小质因子 > pri_m 的 \space p^k 和或者是质数 \space x \le n \space 的\space p^k 的和.\\ G(n,m) = G(n,m - 1) - pri_m^k \times (G(\fr…

「学习笔记」Min25筛 前言 周指导今天模拟赛五分钟秒第一题,十分钟说第二题是 \(\text{Min25}​\) 筛板子题,要不是第三题出题人数据范围给错了,周指导十五分钟就 \(\text{AK}​\) 了,为了向 \(\text{AK}​\)王 学习,真诚的膜拜他,接受红太阳的指导,下午就学习了一下 \(\text{Min25}​\) 筛. 简介 如果 \(f(n)\) 是一个积性函数,且 \(f(n)\) 是一个关于 \(n\) 的简单多项式,并可以快速算出 \(f(p^k),\ p\…

%%yyb %%zsy 一. 基本操作:筛1~N中的素数个数.n=1e9 设F(M,j)表示,2~M的所有数中,满足以下条件之一的数的个数:①x是质数②x最小质因子大于(注意是大于没有等号)$P_j$(第j个质数) 转移方程:$F(M,j)=F(M,j-1)-(F([M/{P_j}],j-1)-(j-1))$理解的话,考虑埃氏筛的做法(这里从${P_j}^2$开始筛)统计这一次被删掉的数的个数也即形如:$x=P_j*some P_{j+x} (x>=0 \&\&some P_{j+x…

LINK:Min_25筛 新版感觉有点鬼畜 而且旧版的也够用了至少. 这个并不算很简单也不算很困难的知识点 学起来还是很麻烦的. (误入了很多dalao的blog 说的云里雾里的 甚是懵逼 这里推荐几个blog一起看 能看出很多门道 网上资源辣么多 我自然也不会去写一个非常正常的学习笔记辣.. 只会写几个容易疑惑的地方. 注意 学会 和会写代码是两码事 因为代码中有一些细节需要细细揣摩. 关于g数组的求出 其转移静下心来理解还是可以看懂的这里不再赘述. 注意 为了方便\(f(1)\)最后考虑.…

Java学习笔记4 1. JDK.JRE和JVM分别是什么,区别是什么? 答: ①.JDK 是整个Java的核心,包括了Java运行环境.Java工具和Java基础类库. ②.JRE(Java Runtime Environment,Java运行环境),运行JAVA程序所必须的环境的集合,包含JVM标准实现及Java核心类库. ③.JVM是Java Virtual Machine(Java虚拟机)的缩写,JVM是一种用于计算设备的规范,它是一个虚构出来的计算机,是通过在实际的计算机上仿真模拟各种…

有人问我怎么这个系列没有写自己做的东西呢? 大哥大姐,这是"学习笔记"啊!当然主要以解读和笔记为主咯. 也有人找我要实例代码(不是示例),我表示AJS尚未成熟,现在数据编辑功能才简略地在AJS 4.3中出现,4.2是没有的,widget和分析功能也不是很完善,还是再等等吧,先学着基础,其他的以后再说. 本节我会紧随这个例子学习一下Query这个类,作为图层查询方法的重要参数,它起了传递查询用的信息的作用. 本例对应官方的例子是:Query a SceneLayer's linked F…

占坑,待填 I Intro 首先我们考虑这样一个问题 给定一个正整数\(p(p<=1e8)\),请判断它是不是质数 妈妈我会试除法! 于是,我们枚举$ \sqrt p$ 以内的所有数,就可以非常轻松地得到一定正确的答案. 贴一小段代码 bool check(int n) { if(n==1) return false; for(int i=2;i*i<=n;++i) if(!(n%i)) return false; return true; } \(Extra\):给定\(p(p<=1e…

注:转载本文须标明出处. 原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Number-theory.html 数论算法 剩余系相关 学习笔记 (基础回顾,(ex)CRT,(ex)lucas,(ex)BSGS,原根与指标入门,高次剩余,Miller_Robin+Pollard_Rho) 本文概要 1. 基础回顾 2. 中国剩余定理 (CRT) 及其扩展 3. 卢卡斯定理 (lucas) 及其扩展 4. 大步小步算法 (BSGS) 及其扩展 5. 原根与指标入…

http://www.cnblogs.com/qq21270/p/7634025.html 学习笔记:python3,一些基本语句(一些基础语法的代码,被挪到这里了) 日期和时间操作 http://blog.csdn.net/ibiao/article/details/78067497 time与datetime http://www.cnblogs.com/shhnwangjian/p/6117602.html python 时间类型和相互转换 # -*- coding: utf-8 -*-…

Dirichlet 卷积学习笔记 数论函数:数论函数亦称算术函数,一类重要的函数,指定义在正整数集上的实值或复值函数,更一般地,也可把数论函数看做是某一整数集上定义的函数. 然而百科在说什么鬼知道呢,感性理解一下,数论函数的定义域是正整数,值域也是正整数. 数论函数的相关运算与性质 设有数论函数\(\bf{h,f,g}\). 加法运算 \((\mathbf {f}+\mathbf {g})(n)=\mathbf {f}(n)+\mathbf {g}(n)\) 即每项相加 数乘运算 \((x\ma…

基本上只是整理了一下框架,具体的学习给出了个人认为比较好的博客的链接. PART1 数论部分 最大公约数 对于正整数x,y,最大的能同时整除它们的数称为最大公约数 常用的:\(lcm(x,y)=xy\gcd(x,y)\) 裴蜀定理 定理:对于方程\(ax+by=c\),其存在解的充要条件是\(gcd(a,b)|c\),可以拓展到n元的方程. 证明的话应该自己yy一下还是很容易(显然可得),不过要是想要严谨证明还是去百度吧qwq 扩展欧几里得定理 首先我们都知道\(gcd(a,b)=gcd(b,a…

点亮技能树行动-- 本篇blog按照分类将网上写的OI知识点归纳了一下,然后会附上蒟蒻我的学习笔记或者是我认为写的不错的专题博客qwqwqwq(好吧,其实已经咕咕咕了...) 基础算法 贪心 枚举 分治 倍增 构造 高精 模拟 图论 图 最短路,次短路 k短路 差分约束 最小生成树 拓扑排序 欧拉图 二分图染色,二分图匹配 最大团,最大独立集 tarjan找scc.桥.割点,缩点 网络流 最大流,最小割,费用流 有上下界的网络流 分数规划 2-SAT 树 LCA 最近公共祖先 树的直径 树的重心…

啊啊啊啊,这篇博客估计是我最早的边写边学的博客了,先忌一忌. 本文章借鉴与一本通提高篇,但因为是个人的学习笔记,因此写上原创. 目录 谁TM边写边学还写这玩意? 后面又加了 Hash Hash表 更多题目讲解 Hash简介: 对于某些题目而言,在判断相等的时候,有时我们来不及或不会打一些算法了,甚至有时候连状压都会炸,这个时候,Hash无非是最好的选择. Hash能够将一些状态通过一些方式把他们压缩到一个区间里面的某些值,并用bool类型来判重就可以了,耶! 题面懒得写了,传送门 一道不错的模版…

[学习笔记]jQuery的基础学习 新建 模板 小书匠  什么是jQuery对象? jQuery 对象就是通过jQuery包装DOM对象后产生的对象.jQuery 对象是 jQuery 独有的. 如果一个对象是 jQuery 对象, 那么它就可以使用 jQuery 里的方法: $(“#test”).html(); $("#test").html() 意思是指:获取ID为test的元素内的html代码.其中html()是jQuery里的方法 这段代码等同于用DOM实现代码: docume…

本博客为原创:综合 尚硅谷(http://www.atguigu.com)的系统教程(深表感谢)和 网络上的现有资源(博客,文档,图书等),资源的出处我会标明 本博客的目的:①总结自己的学习过程,相当于学习笔记 ②将自己的经验分享给大家,相互学习,互相交流,不可商用 内容难免出现问题,欢迎指正,交流,探讨,可以留言,也可以通过以下方式联系. 本人互联网技术爱好者,互联网技术发烧友 微博:伊直都在0221 QQ:951226918 ---------------------------------…

最近学习了一篇ACL会议上的文章,讲的是做一个短文对话的神经反映机, 原文: 会议:ACL(2015) 文章条目:    Lifeng Shang, Zhengdong Lu, Hang Li: Neural Responding Machine for Short-Text Conversation. 1577-1586 写下学习笔记: 拓展:Attention Model 注意力模型,本文中提到所采用的Encoder-Decoder框架. 可以把它看作适合处理由一个句子(或篇章)生成另外一个…

by ruanxingzhi 整除性 如果a能把b除尽,也就是没有余数,则我们称a整除b,亦称b被a整除.(不是除以,是整除!!) 记作:\(a|b\) |这个竖杠就是整除符号 整除的性质 自反性 对于任意\(n\),有\(n|n\). 传递性 若有\(a|b,b|c\),则\(a|c\). 反对称性 如果\(a|b\),且\(b|a\),则\(a=b\) 约数和倍数 如果\(a|b\),那么\(a\)是\(b\)的约数,\(b\)是\(a\)的倍数.称\(a\)为\(b\)的因子. 从而得到重…

目录 写在前面 MySQL引入 数据库的好处 数据库的相关概念 数据库存储数据的特点 MySQL服务的启动和停止 MySQL服务端的登录和退出 MySQL的常用命令 MySQL语法规范 DQL(Data Query Language)数据查询语言 1. 基础查询 2. 条件查询 3. 排序查询 4. 常见函数 5. 分组查询 6. 连接查询 7. 子查询 8. 分页查询 9. 联合查询 10. 查询总结 DML(Data Manipulation Language)数据操作语言 1. 插入语句…