最小支撑树树--Prim算法,基于优先队列的Prim算法,Kruskal算法,Boruvka算法,“等价类”UnionFind 最小支撑树树 前几节中介绍的算法都是针对无权图的,本节将介绍带权图的最小支撑树(minimum spanning tree)算法.给定一个无向图G,并且它的每条边均权值,则MST是一个包括G的所有顶点及边的子集的图,这个子集保证图是连通的,并且子集中所有边的权值之和为所有子集中最小的. 本节中介绍三种算法求解图的最小生成树:Prim算法.Kruskal算法和Boruvk…

题意 题目链接 Sol 自己yy着写了一下Boruvka算法. 算法思想很简单,就是每次贪心的用两个联通块之间最小的边去合并. 复杂度\(O(n \log n)\),然鹅没有Kruskal跑的快,但是好像在一类生成树问题上很有用 #include<bits/stdc++.h> #define Pair pair<int, int> #define fi first #define se second #define pb push_back #define getchar() (p…

学习了一个新的最小生成树的算法,Boruvka(虽然我不知道怎么读).算法思想也是贪心,类似于Kruskal. 大致是这样的,我们维护图中所有连通块,然后遍历所有的点和边,找到每一个连通块和其他连通块相连的最小的一条边,然后把连通块合并起来,重复这个操作,直到剩下一整个连通块,最开始状态是每个点是一个单独的连通块. 复杂度是(n+m)longn,因为每次都会合并两个连通块,整个程序进行log次操作就会完成,每次操作的复杂度是n+m的. 代码非常好理解,我用的并查集实现,(然而并查集我没有用按秩合…

P3366 [模板]最小生成树 boruvka/sollin 复杂度$O(mlogn)$ 简要说明一下过程 引入一个数组$link[i]$表示连通块$i$下一步可更新的最短的边的编号 1.每次枚举所有边,如果边连接的2个点$(u,v)$不属于同连通块,那么更新$link[find(u)],link[find(v)]$(find(u)表示$u$所属的连通块) 2.枚举所有连通块,将$link[i]$两边的连通块合并. 3.如果第2步中有合并操作,则跳到1 注意更新$link[i]$,当比较的两条边…

题意 题目链接 给出\(n\)点,每个点有一个点权\(a[i]\),相邻两点之间的边权为\(a[i] \oplus a[j]\),求最小生成树的值 Sol 非常interesting的一道题,我做过两种这类题目,一种是直接打表找规律,另一种就像这种用Boruvka算法加一些骚操作来搞. 首先,把所有元素扔到Trie树里面,这样对于Trie树上的每一层(对应元素中的每一位)共有两种情况: 全为0或全为1 一部分为0另一部分为1 对于第一种情况,我们无需考虑,因为任意点相邻产生的贡献都是0,对于第二…

大概是这样的:一开始图中有\(n\)个连通块,每次操作我们选出各个连通块连出去的最短的边(如果有相同边权的边的话可以把序号作为第二关键字),然后把这些边加入最小生成树. 最坏的情况下每次操作都会让当前的连通块减半,因此Boruvka算法的复杂度为\(O(m\log n)\). 主要的应用在于边数为\(O(n^2)\)级别但是有特殊性质(如曼哈顿距离.异或等)的情况,选各个连通块连出去的边的时候可以不枚举每条边而是直接找. #include<bits/stdc++.h> const int N=…

算法正确性证明: 1.最优性:最小边一定包含在生成树中. 2.合法性:一定不会构成环.如果存在环说明一个点的最小连边有两个,显然矛盾. 算法时间复杂度证明: 每执行一次算法,所有联通块的大小都至少为2,因此总联通块个数一定至少/2,因此最多只会执行log次. 算法实现: 1.为了避免边权相同的情况,以点标号为第二关键字,为了方便维护最小点编号,把每个联通块在并查集上的代表元素设为该联通块内的最小元素. 2.这个算法执行完后会有重边,可以利用一些奇怪的方法去重. 3.注意把给边去重和merge这两…

Prim算法 1.概览 普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树.意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点(英语:Vertex (graph theory)),且其所有边的权值之和亦为最小.该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克(英语:Vojtěch Jarník)发现:并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆(英语:Robert C. Prim)独立发现:1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法.因此,在某些场…

Constructing Roads Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 9149    Accepted Submission(s): 3383 Problem Description There are N villages, which are numbered from 1 to N, and you should…

做了个对比.Borůvka算法对于稠密图效果特别好.这两个都是求生成森林的算法.Prim+heap+tarjan过于难写不写了. V=200,E=1000 Kruskal method 487504811 Time usage: 129 us Bor(uc)uvka method 487504811 Time usage: 94 us V=500,E=3000 Kruskal method 1068863143 Time usage: 431 us Bor(uc)uvka method 1068…

本文摘自:http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html 最小生成树-Prim算法和Kruskal算法 Prim算法 1.概览 普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树.意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点(英语:Vertex (graph theory)),且其所有边的权值之和亦为最小.该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克(英语:…

Prim算法 1 .概览 普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树.意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点(英语:Vertex (graph theory)),且其所有边的权值之和亦为最小.该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克(英语:Vojtěch Jarník)发现:并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆(英语:Robert C. Prim)独立发现:1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法.因此,在某些…

The Algorithm Design Manual, 2ed 跳转至: 导航. 搜索 Springer - The Algorithm Design Manual, 2ed Steven S.Skiena 2008 文件夹 1 介绍 2 算法设计 3 数据结构 4 排序和搜索 5 图遍历 6 加权图 7 组合搜索与启示式 8 DP 9 Intractable问题与近似算法 10 如何设计算法 11 数据结构 12 数值问题 13 组合问题 14 图问题:P 15 图问题:困难的 16 计算几…

You are given a complete undirected graph with n vertices. A number ai is assigned to each vertex, and the weight of an edge between vertices i and j is equal to ai xor aj. Calculate the weight of the minimum spanning tree in this graph. 题目大意: 边权为两端点…

题目大意 有一个 \(n\times n\) 的矩阵 \(A\).最开始 \(A\) 中每个元素的值都为 \(0\). 有 \(m\) 次操作,每次给你 \(x_1,x_2,y_1,y_2,w\),对于满足 \(x_1\leq i\leq x_2,y_1\leq j\leq y_2\) 的数对 \((i,j)\),把 \(A_{i,j}\) 的值增加 \(w\). 最后构造一个 \(n\) 个点的无向图 \(G\).对于满足 \(1\leq i<j\leq n\) 的数对 \((i,j)\),在…

Borůvka algorithm 我好无聊啊,直接把wiki的算法介绍翻译一下把. wiki关于Borůvka algorithm的链接:链接 Borůvka algorithm是一个在所有边权都是不同的图中找到最小生成树的贪心算法.(其实边权相同也可以做,具体见后文),或者在一个不联通的图找到最小生成树. 它由 Otakar Borůvka (人名)第一次发表在1926年,被作为给Moravia(一个地区)一种有效的电网建设方法.这个算法被Choquet在1938年重新发现,在1951年,它…

题解: 用最小生成树的Boruvka算法 即每次找到每个点不在它联通块的边内的最大值 然后进行log次这个过程 然后找这个的话我们可以用trie树在2^m的时间内完成建树(如果是1要合并到0上)…

[AtCoder3611]Tree MST(点分治,最小生成树) 题面 AtCoder 洛谷 给定一棵\(n\)个节点的树,现有有一张完全图,两点\(x,y\)之间的边长为\(w[x]+w[y]+dis(x,y)\),其中\(dis\)表示树上两点的距离. 求完全图的\(MST\). 题解 首先连边的这个式子可以直接转换成树上的两点间的路径,所以接下来只考虑\(dis(x,y)\). 考虑\(Boruvka\)算法的执行过程,每次都会选择到达一个点集最近的一个点,然后将他们连边. 现在考虑模拟这…

题目链接 Boruvka生成树算法 \(Boruvka\)算法就是先把每个点看作一个联通块,然后不断在联通块之间找最优的边进行合并.因为每次联通块的数量最少缩小一半.所以合并次数是\(log\)的 先把所有的点权挂到\(trie\)树上.然后对于每个联通块进行合并的时候.对于联通块中的每个点都去\(trie\)上搜索他能找到的最优秀的边.也就是说如果当前位置是\(1\)那么就搜索1子树,否则的话既要搜0子树,也要搜1子树.这样1子树是一定要搜的.所以把0子树变为1子树和0子树合并起来的结果.然后…

题目描述 如题,给出一个无向图,求出最小生成树,如果该图不连通,则输出orz 输入输出格式 输入格式: 第一行包含两个整数N.M,表示该图共有N个结点和M条无向边.(N<=5000,M<=200000) 接下来M行每行包含三个整数Xi.Yi.Zi,表示有一条长度为Zi的无向边连接结点Xi.Yi 输出格式: 输出包含一个数,即最小生成树的各边的长度之和:如果该图不连通则输出orz 输入输出样例 输入样例#1: 复制 4 5 1 2 2 1 3 2 1 4 3 2 3 4 3 4 3 输出样例#1…

传送门 第一次接触到Boruvka求最小生成树 它的原版本是:初始每一个点构成一个连通块,每一次找到每一个连通块到其他的连通块权值最短的边,然后合并这两个连通块.因为每一次连通块个数至少减半,所以复杂度是\(O((n+m)logn)\)的 虽然它的原版本用途不多,但是思想可以涵盖很多其他题目,比如这道题 可以想到一个做法:将所有权值插入一个\(Trie\)里,在每一个叶子节点维护到达这个节点的数的编号.像上面那样维护若干连通块,每一次计算权值最小的边时,将当前连通块中所有权值从Trie中删去,然…

题面 题解 考虑最小化\(dis(x, y)\) 这里需要对一种奇怪的最小生成树算法:Boruvka算法有深刻的理解. 考虑该算法的执行过程,我们可以考虑进行点分治,每次找到离分治重心最近的点,然后将分治重心的所有子树的点全部向这个点连边,边数是\(\mathrm{O}(\)子树大小\()\)的,所以总边数在\(\mathrm{O}(n\log_2n)\)级别,最后将这些边跑kruskal求出最小生成树就可以了,总复杂度\(\mathrm{O}(n\log_2^2 n)\). 代码 #inclu…

题目:https://www.luogu.org/problemnew/show/AT2112 对于这种找路径的就直接上点分治就好. 分治时,算出每一个点到分治重心的后能剩多少油,从分治重心走到每个点最少需要多少起始油量. 对这两个数组排序后合并即可. 注意,合并的时候要保证不属于同一棵子树,这个可以利用boruvka时用到的那个技巧来实现. #include<bits/stdc++.h> #define N 220000 #define db double #define ll long l…

▶ 书中第四章部分程序,包括在加上自己补充的代码,Kruskal 算法和 Boruvka 算法求最小生成树 ● Kruskal 算法求最小生成树 package package01; import edu.princeton.cs.algs4.In; import edu.princeton.cs.algs4.StdOut; import edu.princeton.cs.algs4.Edge; import edu.princeton.cs.algs4.EdgeWeightedGraph; i…

[CF888G]Xor-MST 题意:给你一张n个点的完全图,每个点有一个权值ai,i到j的边权使ai^aj,求这张图的最小生成树. n<=200000,ai<2^30 题解:学到了求最小生成树的新姿势. Boruvka算法:先对于每个点,选择在所有与之相连的边中,权值最小的边,并将这条边加入到最小生成树中.显然这样连出来的边会形成一个森林,并且连边后连通块个数至少减半.然后我们将每个连通块再看成一个点,重复以上算法即可.时间复杂度O(mlogn). 对于本题,该如何优化呢?不难想到Trie树…

Prim算法 1.概览 普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树.意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点(英语:Vertex (graph theory)),且其所有边的权值之和亦为最小.该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克(英语:Vojtěch Jarník)发现:并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆(英语:Robert C. Prim)独立发现:1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法.因此,在某些场…

题意其实就是说有很多个点,求一组边把它们都连接起来,并且最大的那条边最小.很明显这就是一个最小生成树,是一颗保证最长边最短的树. 代码 刚刚学了个Borůvka算法,于是写了两个. Borůvka #include<cstdio> #include<cctype> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define Pow(x) ((x)*(x)) using namespa…

Prim算法 1.概览 普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树.意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点(英语:Vertex (graph theory)),且其所有边的权值之和亦为最小.该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克(英语:Vojtěch Jarník)发现:并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆(英语:Robert C. Prim)独立发现:1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法.因此,在某些场…

网络流另开了一个专题,所以在这里就不详细叙述了. 图 一般表示为\(G=(V,E)\),V表示点集,E表示边集 定义图G为简单图,当且仅当图G没有重边和自环. 对于图G=(V,E)和图G2=(V2,E2) ,若V2是V的子集,E2是E的子集,那么图G2是图G的子图. 拓扑排序问题 对于有向图,如果不存在环,则称为有向无环图,缩写为DAG. 拓扑排序是对DAG找出一个点的序列,使得如果x->y,那么x在序列中在y的前面. 拓扑排序是非常简单的,我们初始将所有入度为0的点丢入队列中,然后进行bfs.…

传送门 我居然忘写题解啦!(记忆废) 不管怎么说,这题还算是一道好题啊……你觉得敦爷出的题会有水题么 …… 这题比较容易把人误导到Boruvka算法之类的东西上去(我们机房去刚D题的人一开始大多也被误导了),但仔细思考之后是可以发现问题的特殊性质的. 听说很多人是从Kruskal算法想到这道题的做法的?好吧我并不是,那我就写写我的思考过程好了…… 记得算导上有一道思考题,判断一个最小生成树算法的正确性.那个算法是这样的:把当前图的点集随意划分成两半,递归两半后选出连接两个点集的边中权值最小的一条…