对某些微分方程,存在一条(也可能多条)特殊的积分曲线,它并不属于方程的积分曲线族.但是,在这条特殊的积分曲线上的每一点处,都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切.在几何学上,这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络.在微分方程里,这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解. 设单参数曲线族 \[\varPhi(x,y,c)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3.23)\]  其中$c$是参数,$\varPhi(x,y,c)$是$x,y…

1.2 基本概念和常微分方程的发展史 自变量.未知函数均为实值的微分方程称为实值微分方程:未知函数取复值或变量及未知函数均取复值时称为复值微分方程.若无特别声明,以下均指实变量的实值微分方程. 1.2.1 常微分方程基本概念 (1) 常微分方程和偏微分方程 微分方程就是联系自变量 .未知函数及其的关系式.如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程:自变量的个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程.一般的n阶常微分方程具有形式: \[F\left( {x,y,\frac…

前言:在地球物理勘探,流体空间分布等多种场景中,定位空间点P(x,y,x)的物理属性值Q,并绘制三维空间分布图,对我们洞察空间场景有十分重要的意义. 1. 三维立体图的基本要件: 全空间网格化 网格节点的物理属性值 2.数据准备 数据不易贴,我放在了百度网盘:点击下载数据 大概如下形式: TIP: 这里的数据矩阵为v(5276),可以看成一本27页纸,每页绘制了5*6的网格,然后27页纸叠在一起.当你理解本图绘制后,数据可以随意制作. 3.主要函数:slice.isosurface.patch…

MATLAB版本:R2015b 1.求解符号矩阵的行列式.逆.特征值.特征向量 A = sym('[a11, a12; a21, a22]');deltaA = det(A)invA = inv(A)[V, D] = eig(A) %V的列向量为特征向量,D的主对角线元素为相应的特征值 2.求解代数方程的解析解 syms a b cx = solve('a * x^2 + b * x + c = 0', 'x') 3.求解微分方程(组)的解析解 syms x yY1 = dsolve('D2y…

举例:分别用欧拉法和龙哥库塔法求解下面的微分方程 我们知道的欧拉法(Euler)"思想是用先前的差商近似代替倒数",直白一些的编程说法即:f(i+1)=f(i)+h*f(x,y)其中h是设定的迭代步长,若精度要求不高,一般可取0.01.在定义区间内迭代求解即可.龙哥库塔法一般用于高精度的求解,即高阶精度的改进欧拉法,常用的是四阶龙哥库塔,编程语言如下:y(i+1)=y(i)+h*(k1+2*K2+2*k3+k4)/6;k1=f(xi,yi)k2=f(xi+h/2,yi+h*k1/2);…

在很多不同的科学领域里面,对于运动或者变化的描述和建模,都具有非常根本性的地位--我个人认为,在计算机视觉里面,这也是非常重要的. 什么是"流"? 在我接触过的各种数学体系中,对于运动和变化的描述,我感觉最为适合的有两种不同的perspective:流和变换群.前者以被作用的对象为中心,运动就是这个东西随时间变化的函数:后者以变换本身为中心,研究的是各种变换所组成的空间的代数和拓扑结构.我想,相对来说,前者对于多数人而言似乎更为直观.在这篇文章里,就以"流"(Flo…

1010 Rower Bo 首先这个题微分方程强解显然是可以的,但是可以发现如果设参比较巧妙就能得到很方便的做法. 先分解v_1v​1​​, 设船到原点的距离是rr,容易列出方程 \frac{ dr}{ dt}=v_2\cos \theta-v_1​dt​​dr​​=v​2​​cosθ−v​1​​ \frac{ dx}{ dt}=v_2-v_1\cos \theta​dt​​dx​​=v​2​​−v​1​​cosθ 上下界都是清晰的,定积分一下: 0-a=v_2\int_0^T\cos\thet…

谢谢董老师,董老师是个好老师. 心情久久不能平静,主要是高频这门课的分析方法实在是让我难以理解,公式也背只是,还是放放吧. 近期厌恶了Matlab臃肿的体积和频繁的读写对我的Mac的损害,所以学习了一下Python这一轻量级的脚本.发现"Python自诞生那天就跟科学计算分不开"这个事实. 无聊,写写心得. 配置环境什么的还是弄了几个晚上的. 在Mac下用PyCharm还是非常好滴.装上NumPy,SciPy等等一众免费的,非常不错的Python包.就能够灰了. 1.Hilbert变换…

最简单求解一个微分方程数值解得方法:Euler法 function [x,y]=Euler_method(dufun,span,h,x0,y0) %EuLer格式, %求解方程y'=dufun(x,y);其中x \in[a,b];y0为初始值:n为自变量的离散个数:y为求解结果 x=span(1):h:span(2); n=length(x); y=zeros(1,n);%存放数值的解 x(1)=x0; y(1)=y0; for i=1:n-1 y(i+1)=y(i)+h.*feval(dufu…

形如:$$\frac{dy}{dx}=P(x)y^{2}+Q(x)y+R(x)$$ 其中P(x).Q(x).R(x)是连续可微函数 或形如 $$\frac{dy}{dx}=ay^{2}+\frac{k}{x}y+\frac{c}{x^{m}}$$ 其中a.k.c.m为常数 一般情况下,Riccati方程不能用初等积分方法求出它的通解,如果知道它的一个特解,就可以用初等积分方法求出通解 设Riccati方程一个特解$y^{*}=y_{1}$ 令$$y=z+y_{1}$$ 则Riccati方程转化为…