零.约定: (置换等名词会在前置知识中有解释) \(1.\)在本文中,题目要求的染色方案等统称为"元素". \(2.\)两个元素严格相等我们记做"\(=\)",两个元素等价(按题目所给的置换可以互相得到)我们记做"\(\Leftrightarrow\)". \(3.\)元素\(a\)进行置换\(g\)我们记做\(a\otimes g\). \(4.\)置换之间的乘积记做\(\odot\),\(g_i=g_j\odot g_k\),当且仅当\(\f

听大佬们说了这么久Pólya定理,终于有时间把这个定理学习一下了. 置换(permutation)简单来说就是一个(全)排列,比如 \(1,2,3,4\) 的一个置换为 \(3,1,2,4\).一般地,我们记 \(i\) 到 \(a_i(1<=i<=n)\) 的一个置换为 \[ \left ( \begin{matrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{matrix} \r

题目链接:https://vjudge.net/problem/UVA-10294 题解: 白书P146~147. 为什么旋转i个间距,就有gcd(i,n)个循环,且每个循环有n/gcd(i,n)个元素? 证明: (gcd:最大公约数,lcm:最小公倍数) 将珠子从0到n-1标号,对于旋转i位的置换,在以0号为起点,长度为t的一个循环节中,元素标号为:0,i%n,(i*2)%n,…,(i*(t-1))%n 易知:(i*t)%n==0(循环大小为t,跳t次就回到初始点0),即 n*k == i*t

我想了想,发现可以证明burnside定理. 置换:n个元素1,2,-,n之间的一个置换表示1被1到n中的某个数a1取代,2被1到n中的某个数a2取代,直到n被1到n中的某个数an取代,且a1,a2,-,an互不相同. 置换群:置换群的元素是置换,运算是置换的连接.例如: 可以验证置换群满足群的四个条件. 重点是这个:│Ek│·│Zk│=│G│    k=1-n 这个我不会证明,但是很好理解:每个不动点都可以找到一个对应的置换,差不多就这个意思. 该公式的一个很重要的研究对象是群的元素个数,有很

一.前置概念 接下来的这些定义摘自 置换群 - OI Wiki. 1. 群 若集合 \(s\neq \varnothing\) 和 \(S\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((S,\cdot)\) 满足一下性质: 封闭性:\(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\). 结合律:\(\forall a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\). 单位元:\(\exists e\in S,\forall

先定义几个含义和符号:起始状态/方法/位置/元素/:以染色为例,起始状态是所有的染色方案,方法是以起始状态所有染色方案为基准转变为新的染色情景的操作(如旋转),位置则必须是没有任何染色效果的抽象空间,元素则是各种颜色循环: 在方法作用下,元素在位置上形成一个首尾相接的环(且定义这些位置是等价的)迹: 在方法作用下,循环所遍及到的所有位置的集合等价关系:一个置换集合G,如果一个置换方法能把其中一个方案映射到另一个方案,则二者是等价的等价类: 满足等价关系的方案属于同一等价类,如:这里有6个等价类

Description 小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决

[题意分析] 给N个元素染色,可以在定置换群的作用下互相转化的染色方案算相同的,问本质不同的染色方案数. [解题思路] 引理:Burnside定理 设集合S=[1,n]∩N,记等价类数为L,给定S上的置换群G. Zk (k不动置换类):若k是S中某个元素,G中使k保持不变的置换的全体,记以Zk,叫做G中使k保持不动的置换类,简称k不动置换类. C(π)(置换n的不动点全集):对于一个置换π∈G,及a∈X,若π(a)=a,则称a为π的不动点.π的不动点的全体记为C(π). 有定理:L=1/|G|*

提示: 本文并非严谨的数学分析,有很多地方是自己瞎口胡的,仅供参考.有错误请不吝指出 :p 1. 群 1.1 群的概念 群 \((S,\circ)\) 是一个元素集合 \(S\) 和一种二元运算 $ \circ $ 的合称,其满足以下性质. 封闭性 对于 \(\forall a,b \in S\) , \(\exist c \in S\) 使得 \(c = a \circ b\) 结合律 对于 \(\forall a,b,c \in S\) , \(a \circ (b \circ c) = (

相信对于继承和多态的概念性我就不在怎么解释啦!不管你是.Net还是Java面向对象编程都是比不缺少一堂课~~Net如此Java亦也有同样的思想成分包含其中. 继承,多态,封装是Java面向对象的3大特征. 继承 如果用.Net写一个A类继承B类的话,写法会是大致如下: Public Class A : B{ ....... } Java的话却要通过extends关键字在声明类的时候指定其父类(基类),所以上面的.Net写法要转换成Java的话应该是下面的样子: Public clas A ext

这是做的第一道群论题,自然要很水又很裸.注意用long long. 就是用到了两个定理 burnside :不等价方案数=每个置换的不动置换方案数的和 / 置换个数 polya: 一个置换的不动置换方案数=k^(这个置换的循环个数) 先看第一个博客再看第二个 http://cxjyxx.me/?p=198 http://endlesscount.blog.163.com/blog/static/82119787201221324524202/ 这两个蛮好的,上代码: #include <cstd

题目链接 luogu P1446 [HNOI2008]Cards 题解 题意就是求染色方案->等价类 洗牌方式构成成了一个置换群 然而,染色数限制不能用polay定理直接求解 考虑burnside引理 对于一个置换群其等价类的个数为置换中不动点的平均数 先暴力求出置换中的轮换,然后01背包DP求出不动点方案数 代码 #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm

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题目链接:http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=1004 题意:三种颜色的扑克牌各有Sr,Sb,Sg张.给出m种置换.两种染色方案在某种置换下相同时认为是一种.有多少种不同的排列? 思路:利用Burnside引理计算的两个步骤: (1)找出所有的置换,在这里我们很容易认为只有m种,其实是m+1种,不动置换也是一种.坑爹.. (2)求出每种置换下不动点个数.也就是对于每一种置换,我们要找出在这种置换下哪些排列在置换后还是这样.那么首先我们

vim :修改文件 模式: 默认进来是一般模式.i 编辑模式.esc 退出编辑 .shift+: 底行模式 参数: w: write/q:quit/! force 编辑模式:  /a:光标之后插入内容 /A:光标最后插入内容 /o:当前光标下新行插入内容 /O:当前光标上新行插入内容 /x:向后删除 /X:向前删除 /u:撤销当前操作 /U:撤销所有操作 /shift+D :删除光标之后的字符 一般模式: /^:跳到行首 /$:跳到行尾 /ndd:删除n行,从光标起 /nyy:复制n行 /p :

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