一.简介 前置知识:多项式乘法与 FFT. FFT 涉及大量 double 类型数据操作和 \(\sin,\cos\) 运算,会产生误差.快速数论变换(Number Theoretic Transform,简称 NTT)在 FFT 的基础上,优化了常数及误差. NTT 其实就是把 FFT 中的单位根换成了原根. NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况,可以说有些受模数的限制,多项式系数应为整数. 二.原根 与 NTT 「算法笔记」基础数论 2 中提及了原根的部分内容. 对于质数 \(p\),若

具体步骤: 1.补0:在两个多项式最前面补0,得到两个 $2n$ 次多项式,设系数向量分别为 $v_1$ 和 $v_2$. 2.求值:用FFT计算 $f_1 = DFT(v_1)$ 和 $f_2=DFT(v_2)$.这里得到的 $f_1$ 和 $f_2$ 分别是两个输入多项式在 $2n$ 次单位根处的各个取值(即点值表示) 3.乘法:把两个向量 $f_1$ 和 $f_2$ 的每一维对应相乘,得到向量 $f$.它对应输入多项式乘积的点值表示. 4.插值:用FFT计算 $v=IDFT(f)$,其实

刚学完FFT,干脆把NTT也学了算了 (一)预备知识 关于原根,这里说得蛮详细的百度百科 为什么使用原根呢?为什么原根可以替代\(\omega_{n}\)呢?想知道为什么就看here NTT用到的各种素数,在这里here (二)重要知识 直接上代码 原题洛谷P1919 #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath>

相关知识 时间域上的函数f(t)经过傅里叶变换(Fourier Transform)变成频率域上的F(w),也就是用一些不同频率正弦曲线的加 权叠加得到时间域上的信号. \[ F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-iwt}dt \] 傅里叶逆变换是将频率域上的F(w)变成时间域上的函数f(t),一般称\(f(t)\)为原函数,称\(F(w)\)为象函数.原函数和象函数构成一个傅里叶变换对. \[ f(t)

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Fast-Fourier-Transform.html 多项式 之 快速傅里叶变换(FFT)/数论变换(NTT)/例题与常用套路[入门] 前置技能 对复数以及复平面有一定的了解 对数论要求了解:逆元,原根,中国剩余定理 对分治有充足的认识 对多项式有一定的认识,并会写 $O(n^2)$ 的高精度乘法 本文概要 多项式定义及基本卷积形式 $Karatsuba$ 乘法 多项式的系数表示与点值表示,以及拉格朗日插值法

今天的A题.裸的ntt,但我不会,于是白送了50分. 于是跑来学一下ntt. 题面非常easy.就懒得贴了,那不是我要说的重点. 重点是NTT,也称高速数论变换. 在非常多问题中,我们可能会遇到在模意义下的多项式乘法问题,这时传统的高速傅里叶变换可能就无法满足要求,这时候高速数论变换就派上了用场. 考虑高速傅里叶变换的实现,利用单位复根的特殊性质来降低运算.而利用的.就是dft变换的循环卷积特性. 于是考虑在模意义下相同具有循环卷积特性的东西. 考虑在模p意义下(p为特定的质数,满足p=c∗2n

FFT可以用来计算多项式乘法,但是复数的运算中含有大量的浮点数,精度较低.对于只有整数参与运算的多项式,有时,\(\text{NTT(Number-Theoretic Transform)}\)会是更好的选择. 原根 阶 若\(a,p\)互素,且\(p>1\),对于\(a^k \equiv 1 (\mod p)\)的最小的\(k\),称为\(a\)模\(p\)的阶,记做\(\sigma_p(a)\). \(E.g.\) \(\sigma_7(2)=3\) \(2^1\equiv 2(\mod 7

[简介] 快速傅里叶变换(FFT)运用了单位复根的性质减少了运算,但是每个复数系数的实部和虚部是一个余弦和正弦函数,因此系数都是浮点数,而浮点数的运算速度较慢且可能产生误差等精度问题,因此提出了以数论为基础的具有循环卷积性质的快速数论变换(NTT). 在FFT中,通过$n$次单位复根即$\omega^n=1$的$\omega$来运算,而对于NTT来说,则是运用了素数的原根来运算. [原根] [定义] 对于两个正整数$a,m$满足$gcd(a, m)=1$,由欧拉定理可知,存在正整数$d\leq

Intro: 本篇博客将会从朴素乘法讲起,经过分治乘法,到达FFT和NTT 旨在能够让读者(也让自己)充分理解其思想 模板题入口:洛谷 P3803 [模板]多项式乘法(FFT) 朴素乘法 约定:两个多项式为\(A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i,B(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i\) Prerequisite knowledge: 初中数学知识(手动滑稽) 最简单的多项式方法就是逐项相乘再合并同类项,写成公式: 若\(C(x)=A(x)B(x)\),那么\(C(x

数论变换NTT 前置知识 FFT:NTT的思想和FFT一样(FFT介绍) 概述 数论变换,即NTT(Number Theory Transformation?),是基于数论域的FFT,一般我们默认FFT为负数域上的快速傅里叶变换,和NTT区分. 我们知道,FFT是利用单位复根的周期性,以\(\Theta(N \log N)\)的复杂度计算\(N\)组多项式的值.NTT其实就是在数论域上的FFT,它利用素数取模的周期性,达到了和FFT一样的效果. 原根 若\(a\)模\(P\)的阶等于\(φ(P)

NTT 先学习FFT 由于FFT是使用复数运算,精度并不好,而且也无法取模,所以有了NTT(快速数论变换). 建议先完全理解FFT后再学习NTT. 原根 NTT使用与单位根性质相似的原根来代替单位根. 定义:设\(m\)是正整数,\(a\)是整数,若\(a\)模\(m\)的阶等于\(φ(m)\),则称\(a\)为模\(m\)的一个原根. 如果你不知道阶 定义:对于\(an≡1(modp)an≡1(modp)\)最小的\(n\),我们称之为\(a\)模\(p\)的阶,记做\(δp(a)\) 如果你

快速傅里叶变换 & 快速数论变换 [update 3.29.2017] 前言 2月10日初学,记得那时好像是正月十五放假那一天 当时写了手写版的笔记 过去近50天差不多忘光了,于是复习一下,具体请看手写版笔记 参考文献:picks miskcoo menci 阮一峰 Fast Fourier Transform 单位复数根 虚数 复数 \(i\),表示逆时针旋转90度 \(a+bi\),对应复平面上的向量 复数加法 同向量 复数乘法 "模长相乘,幅角相加",\((a+bi)*(

正则匹配中 ^ $ 和 \b 的区别     ^和$分别代表字符串的开始和结束,因此^\d$只能匹配包含一个数字的字符串\b代表单词边界,其前后必须是不同类型的字符,可以组成单词的字符为一种类型,不可组成单词的字符(包括字符串的开始和结束)为另一种类型因此\b\d\b可以匹配"%3%"中的3,但不能匹配"23"中的任意一个数字

转自:http://blog.csdn.net/wuchuanpingstone/article/details/6678653 个人建议:以下这篇文章,是从例子说明的方式,解释ArrayList.LinkedList,但是最好的方式还是看源代码.其实ArrayList就是一个动态数组,LinkedList是一个链表.  1.ArrayList是实现了基于动态数组的数据结构,LinkedList基于链表的数据结构.     2.对于随机访问get和set,ArrayList优于LinkedLis

数据库中MyISAM与InnoDB区别 首页 » DIY技术区 » 数据库中MyISAM与InnoDB区别 09:57:40   MyISAM:这个是默认类型,它是基于传统的ISAM类型,ISAM是Indexed Sequential Access Method (有索引的顺序访问方法) 的缩写,它是存储记录和文件的标准方法.与其他存储引擎比较,MyISAM具有检查和修复表格的大多数工具. MyISAM表格可以被压缩,而且它们支持全文搜索.它们不是事务安全的,而且也不支持外键.如果事物回滚将造成

socket网络编程中read与recv区别 1.read 与 recv 区别 read 原则: 数据在不超过指定的长度的时候有多少读多少,没有数据则会一直等待.所以一般情况下:我们读取数据都需要采用循环读的方式读取数据,因为一次read 完毕不能保证读到我们需要长度的数据,read 完一次需要判断读到的数据长度再决定是否还需要再次读取. recv 原则:        recv 中有一个MSG_WAITALL 的参数:                recv(sockfd, buff, buf

详解 $_SERVER 函数中QUERY_STRING和REQUEST_URI区别 http://blog.sina.com.cn/s/blog_686999de0100jgda.html   实例: 1,http://localhost/aaa/ (打开aaa中的index.php)结果:$_SERVER['QUERY_STRING'] = "";$_SERVER['REQUEST_URI']  = "/aaa/";$_SERVER['SCRIPT_NAME'] 

  Java中equals和==的区别 java中的数据类型,可分为两类: 1.基本数据类型,也称原始数据类型.byte,short,char,int,long,float,double,boolean   他们之间的比较,应用双等号(==),比较的是他们的值. 2.复合数据类型(类)   当他们用(==)进行比较的时候,比较的是他们在内存中的存放地址,所以,除非是同一个new出来的对象,他们的比较后的结果为true,否则比较后结果为false. JAVA当中所有的类都是继承于Object这个基

java中equals和==的区别  值类型是存储在内存中的堆栈(以后简称栈),而引用类型的变量在栈中仅仅是存储引用类型变量的地址,而其本身则存储在堆中. ==操作比较的是两个变量的值是否相等,对于引用型变量表示的是两个变量在堆中存储的地址是否相同,即栈中的内容是否相同. equals操作表示的两个变量是否是对同一个对象的引用,即堆中的内容是否相同.  ==比较的是2个对象的地址,而equals比较的是2个对象的内容. 显然,当equals为true时,==不一定为true: 一.String中

转载自:JSP中pageEncoding和charset区别,中文乱码解决方案 JSP指令标签中<%@ page contentType="text/html;charset=GB2312"%>这句有什么用途?关于JSP页面中的pageEncoding和contentType两种属性的区别: pageEncoding是jsp文件本身的编码 contentType的charset是指服务器发送给客户端时的内容编码 JSP要经过两次的“编码”,第一阶段会用pageEncodin