指数族分布是一大类分布,基本形式为: T(x)是x的充分统计量(能为相应分布提供足够信息的统计量) 为了满足归一化条件,有: 可以看出,当T(x)=x时,e^A(theta)是h(x)的拉普拉斯变换. 指数族分布的例子: 伯努利分布转换成指数族分布形式: 单变量高斯分布的: 多变量高斯分布的: A(theta)的一阶导: A(theta)的二阶导: 说明A(theta)是凸函数 计算log likehood,然后对theta求导,可得 而A的二次导时大于零的,所以A的一次导是增函数,上述方程最多

(一)牛顿法解最大似然估计 牛顿方法(Newton's Method)与梯度下降(Gradient Descent)方法的功能一样,都是对解空间进行搜索的方法.其基本思想如下: 对于一个函数f(x),如果我们要求函数值为0时的x,如图所示: 我们先随机选一个点,然后求出该点的切线,即导数,延长它使之与x轴相交,以相交时的x的值作为下一次迭代的值. 更新规则为: 那么如何将牛顿方法应用到机器学习问题求解中呢? 对于机器学习问题,我们优化的目标函数为极大似然估计L,当极大似然估计函数取得最大时,其导

Exponential family(指数分布族)是一个经常出现的概念,但是对其定义并不是特别的清晰,今天好好看了看WIKI上的内容,有了一个大致的了解,先和大家分享下.本文基本是WIKI上部分内容的翻译. 1. 几个问题 什么是指数分布族? 既然是”族“,那么族内的共同特点是什么? 为何指数分布族被广泛应用?是指数分布族选择了我们,还是我们选择了指数分布族?(这个问题没有回答,需要结合具体实例分析) 2. 参考 Exponential family. (2015, February 26).

本节内容 牛顿方法 指数分布族 广义线性模型 之前学习了梯度下降方法,关于梯度下降(gradient descent),这里简单的回顾下[参考感知机学习部分提到的梯度下降(gradient descent)].在最小化损失函数时,采用的就是梯度下降的方法逐步逼近最优解,规则为其实梯度下降属于一种优化方法,但梯度下降找到的是局部最优解.如下图: 本节首先讲解的是牛顿方法(NewTon’s Method).牛顿方法也是一种优化方法,它考虑的是全局最优.接着还会讲到指数分布族和广义线性模型.下面来详细

在Lecture4中有3部分内容: Newton’s method        牛顿方法 Exceponential Family        指数分布族 Generalized Linear Models        广义线性模型(GLMS) 牛顿法上一篇随便中已经讲过了,是平行于梯度下降算法的另一种最优化算法. 然后,视频中证明了伯努利分布和高斯分布都属是指数分布族中的特例的证明,实际上就是把这两种分布转化为指数分布族的形式,然后一一去对照,判断是否符合. 接下来,就讲到了当我们选定了

前面的文章已经介绍了一个回归和一个分类的例子.在逻辑回归模型中我们假设: 在分类问题中我们假设: 他们都是广义线性模型中的一个例子,在理解广义线性模型之前需要先理解指数分布族. 指数分布族(The Exponential Family) 如果一个分布可以用如下公式表达,那么这个分布就属于指数分布族: 公式中y是随机变量:h(x)称为基础度量值(base measure): η称为分布的自然参数(natural parameter),也称为标准参数(canonical parameter): T(

高斯判别分析(附Matlab实现) 生成学习算法 高斯判别分析(Gaussian Discriminant analysis,GDA),与之前的线性回归和Logistic回归从方法上讲有很大的不同,GDA是一种生成学习算法(Generative Learning Algorithms),而之前的属于判别学习算法(Discriminative Learning Algorithms). 它们的主要区别是: 判别学习算法是直接训练出p(y|x): 生成学习算法是分别训练出各个类别的概率模型,之后再用

指数分布族 我们称一类分布属于指数分布族(exponential family distribution),如果它的分布函数可以写成以下的形式: \[ \begin{equation} p(y;\eta) = b(y) \exp(\eta^{T}T(y) - a(\eta)) \tag{*} \end{equation} \] 其中,\(\eta\)被称为自然参数(natural parameter),\(T(y)\)被称为充分统计量(sufficient statistic),\(a(\eta

CS229 笔记04 Logistic Regression Newton's Method 根据之前的讨论,在Logistic Regression中的一些符号有: \[ \begin{eqnarray*} P(y=1|x;\Theta)&=&h_\Theta(x)=\frac{1}{1+e^{-\Theta^{{\rm T}}x}} \\[1em] P(y|x;\Theta)&=&[h_\Theta(x)]^y[1-h_\Theta(x)]^{1-y} \\[1em]

在分类问题中我们如果: 他们都是广义线性模型中的一个样例,在理解广义线性模型之前须要先理解指数分布族. 指数分布族(The Exponential Family) 假设一个分布能够用例如以下公式表达,那么这个分布就属于指数分布族: 公式中y是随机变量:h(x)称为基础度量值(base measure): η称为分布的自然參数(natural parameter),也称为标准參数(canonical parameter): T(y)称为充分统计量,通常T(y)=y: a(η)称为对数切割函数(lo

在线性回归问题中,我们假设,而在分类问题中,我们假设,它们都是广义线性模型的例子,而广义线性模型就是把自变量的线性预测函数当作因变量的估计值.很多模型都是基于广义线性模型的,例如,传统的线性回归模型,最大熵模型,Logistic回归,softmax回归. 指数分布族 在了解广义线性模型之前,先了解一下指数分布族(the exponential family) 指数分布族原型如下 如果一个分布可以用上面形式在表示,那么这个分布就属于指数分布族,首先来定义一下上面形式的符号: η:分布的自然参数(n

再谈广义线性模型之前,先来看一下普通线性模型: 普通线性模型的假设主要有以下几点: 1.响应变量Y和误差项ϵ正态性:响应变量Y和误差项ϵ服从正态分布,且ϵ是一个白噪声过程,因而具有零均值,同方差的特性. 2.预测量xi和未知参数βi的非随机性:预测量xi具有非随机性.可测且不存在测量误差:未知参数βi认为是未知但不具随机性的常数,值得注意的是运用最小二乘法或极大似然法解出的未知参数的估计值β^i则具有正态性. 广义线性模型(generalized linear model)正是在普通线性模型的基

一.广义线性模型概念 在讨论广义线性模型之前,先回顾一下基本线性模型,也就是线性回归. 在线性回归模型中的假设中,有两点需要提出: (1)假设因变量服从高斯分布:$Y={{\theta }^{T}}x+\xi $,其中误差项$\xi \sim N(0,{{\sigma }^{2}})$,那么因变量$Y\sim N({{\theta }^{T}}x,{{\sigma }^{2}})$. (2)模型预测的输出为$E[Y]$,根据$Y={{\theta }^{T}}x+\xi $,$E[Y]=E[{{

指数分布族 The exponential family 因为广义线性模型是围绕指数分布族的.大多数常用分布都属于指数分布族,服从指数分布族的条件是概率分布可以写成如下形式:η 被称作自然参数(natural parameter),或正则参数canonical parameter),它是指数分布族唯一的参数T(y) 被称作充分统计量(sufficient statistic),很多情况下T(y)=y loga(η) 是log partition functione-a(η)是一个规范化常数,使得

引言:通过高斯模型得到最小二乘法(线性回归),即:      通过伯努利模型得到逻辑回归,即:      这些模型都可以通过广义线性模型得到.广义线性模型是把自变量的线性预测函数当作因变量的估计值.在机器学习中,有很多模型都是基于广义线性模型的,比如传统的线性回归模型,最大熵模型,Logistic回归,softmax回归,等等.今天主要来学习如何来针对某类型的分布建立相应的广义线性模型. 广义线性模型 广义线性模型:广义线性模型是基于指数分布族(Exponential Family),而指数分布

参考文献:PRML2 参数方法和非参数方法 机器学习上的方法分为参数方法(根据先验知识假定模型服从某种分布,然后利用训练集估计出模型参数,也就弄清楚了整个模型,例如感知器)和非参数方法(基于记忆训练集,然后根据训练集预测,例如kNN). 参数方法 参数方法根据先验知识假定模型服从某种分布,然后利用训练集估计出模型参数,也就弄清楚了整个模型. 那么,估计模型参数到底是一个客观存在的参数还是一个概率密度分布,这个分歧就引出了贝叶斯学派和非贝叶斯学派的不同之处. 非贝叶斯学派: 非贝叶斯学派认为先验知

广义线性模型(Generalized Linear Model) http://www.cnblogs.com/sumai 1.指数分布族 我们在建模的时候,关心的目标变量Y可能服从很多种分布.像线性回归,我们会假设目标变量Y服从正态分布,而逻辑回归,则假设服从伯努利分布.在广义线性模型的理论框架中,则假设目标变量Y则是服从指数分布族,正态分布和伯努利分布都属于指数分布族,因此线性回归和逻辑回归可以看作是广义线性模型的特例.那什么是指数分布族呢?若一个分布的概率密度或者概率分布可以写成这个形式,

逻辑回归(Logistic Regression)是一种经典的线性分类算法.逻辑回归虽然叫回归,但是其模型是用来分类的. 让我们先从最简单的二分类问题开始.给定特征向量x=([x1,x2,...,xn])T以及每个特征的权重w=([w1,w2,...,wn])T,阈值为b,目标y是两个分类标签---1和-1.为了便于叙述,把b并入权重向量w,记作,特征向量则扩充为.(为了简便的缘故,下面还是都写成w和x) 事实上,我们已经学习过一种分类算法了.在<机器学习---感知机(Machine Learn

1 问题来源 记得一开始学逻辑回归时候也不知道当时怎么想得,很自然就接受了逻辑回归的决策函数--sigmod函数: 与此同时,有些书上直接给出了该函数与将 $y$ 视为类后验概率估计 $p(y=1|x)$ 等价,即 并给出了二分类(标签 $yin(0,1)$)情况下的判别方式: 但今天再回过头看的时候,突然就不理解了,一个函数值是怎么和一个概率联系起来了呢?有些人解释说因为 $h_{theta}(x)$ 范围在0~1之间啊,可是数值在此之间还是没说明白和概率究竟有什么关系.所以,前几天看了一些资

CS229 Lecture notes 01 机器学习课程主要分为4部分:监督学习:学习理论:无监督学习:增强学习. $x^{(i)}$表示特征,$y^{(i)}$表示目标,$i=1...m$.m是训练数据的数量.n表示特征的数量. 回归问题:预测连续变量的值. 线性回归: 确定假设$h_{\theta}(x)=\theta_{0}+\theta_{1}x_{1}+\theta_{2}x_{2}$.我们可以增加一个变量$x_{0}=1$,则该假设可以改写为$h(x)=\sum_{i=0}^{x}

查找不重复数据 DISTINCT 查询日期 在access中格式是yyyy-mm-dd,Query执行的语句中用‘#’+Formatdata(‘yyyy-mm-dd’,date)+‘#’ SQL运算符 取模%,MOD() +,-,*,% 比较运算(true,false,Unknow) 比较运算(<,>,<>,!=) 逻辑运算(And,OR,Not) 为提高效率一般不用OR改用IN ||连接,CONCAT Like通配符%,_ SQL中排序大写字母总在小写的后面,不论是在ASCII,