定理  设$p$为素数,则$p^2$阶群$G$必为Abel群.

设$G$是$60$阶的单群,我们来证明他同构于$A_5$,一个比较直观地思路是考虑群表示$\phi:G\to S(\Sigma)$,由同态基本定理得到$$G/{\rm Ker}\phi \simeq \phi(G)\leq S(\Sigma)$$ 注意$G$的单性以及${\rm Ker}\phi\triangleleft G$,只要$\phi$不是总把$G$中的元素映成恒等变换就一定有${\rm Ker}\phi={1}$,即$G\leq S(\Sigma)$,自然的希望$|\Sigma|=5$

离散对数问题,英文是Discrete logarithm Problem,有时候简写为Discrete log,该问题是十几个开放数学问题(Open Problems in Mathematics, [0.a], [0.b])中的一个.为什么要从离散对数问题说起?因为后面的内容中会反复使用到,因此我们希望用独立的一节分析来消除理解上的不确定性. 0x01 背景 对数\(\log_{b}(a)\)是由John Napier发明(1614)的符号([1],[2.a],[2.b]),选择不同的基底,就

Fibonacci 数列 设f(x)=1,x∈{1,2}=f(x−1)+f(x−2),x∈[3,∞)\begin{aligned}f(x)&=1,\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x\in\{1,2\}\\ &=f(x-1)+f(x-2),\quad x\in[3,∞) \end{aligned}f(x)​=1,x∈{1,2}=f(x−1)+f(x−2),x∈[3,∞)​ 则 f(x)f(x)f(x) 的通项公式为f(x)=15[(

用大写O()来体现算法时间复杂度的记法,我们称之为大O阶记法. O(1)叫做常数阶:O(n)叫做线性阶:O(n^2)叫做平方阶.  1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数. 2.在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项. 3.如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数. 得到的结果就是大O阶.   

abs 题意: 问题描述 给定一个数x,求正整数y,使得满足以下条件: 1.y-x的绝对值最小 2.y的质因数分解式中每个质因数均恰好出现2次. 输入描述 第一行输入一个整数T 每组数据有一行,一个整数x 输出描述 对于每组数据,输出一行y-x的最小绝对值 输入样例 5 1112 4290 8716 9957 9095 输出样例 23 65 67 244 70 题解: 由于y质因数分解式中每个质因数均出现2次,那么y是一个完全平方数,设y=z*z,题目可转换成求z,使得每个质因数出现1次. 我们

题意:给定一个数,这个数是两个素数的乘积,并给定一个限制L,问是否两个素数中存在小于L的数,若存在输出较小质数,否则打印'GOOD'. 思路: 1 . x = a * b, a和b都是素数,那么x只能分解为(1,x)或则(a,b),因为 x 只有四个因子1,a,b,x. 2 . 判定某大数y能否被x整除,可以通过求余是否为0判断.大数求余的方法在我的上一篇文章中有证明. 3 . 素数打表,方便快速判断某个数是否为质数. 根据第一个结论,可以知道如果某个素数(这个数小于限制L)能被大数整除,那么这

我在RSA学习总结的第三部分关于Mille-Rabin素数测试的正确性证明里需要用到此定理,由于证明太长,故另开一章于此.(为啥我说话突然文绉绉了Orz,可能是这周辩论打多了) 结论是对素数p,modulo p的原根存在,个数为与ø(p-1),modulo p2的原根个数为(p-1)ø(p-1)个 对奇素数p,modulo p^n的原根存在,个数为pn-2(p-1)ø(p-1) (n>=3) 首先证明对任意素数p,modulo p的原根存在 以下是证明思路(符号的意思在第二张图,完整证明里有)

题意: 已知两点 (x1,y1) 和 (x2, y2)求两点间线段上的整点的个数 解析: 就是求gcd(abs(x2- x1),abs(y2 - y1)) 证明: 我们分水平方向和竖直方向两个方向看   这些在线段上的整点的横纵坐标一定可以平分 x2-x1  和  y2-y1 这两条线段 即需要求这两条线段的最大公约数  使得点最多 代码转自:https://blog.csdn.net/xiang_6/article/details/78523634   懒得写了 #include<iostre

#include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <ctime> #include <cstdlib> #include <iostream> using namespace std; #define ll long long ; ll ans; ll gcd(ll a,ll b){ ) return gcd(-a , b); ) return a; retu

狄利克雷卷积简介 卷积这名字听起来挺学究的,今天学了之后发现其实挺朴实hhh. 卷积: "(n)"表示到n的一个范围. 设\(f,g\)是两个数论函数(也就是说,以自然数集为定义域的复数值函数),则卷积运算\(f\ast g\)定义为 \[(f\ast g)(n) = \sum_{ij=n}{f(i)g(j)}\] 另一种写法就是: \[(f\ast g)(n) = \sum_{d\mid n}{f(d)g(\frac{n}{d})}\] 这里给一段数论函数的定义: 数论函数亦称算术函

素数及其性质 素数又称质数.指整数在一个大于 111 的自然数中,除了 111 和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数. 性质1 有无穷多个素数. 证明: 用反证法.设已知的最大素数为 PPP,考虑S=2×3×5×-×P+1S=2\times3\times5\times-\times P+1S=2×3×5×-×P+1 显然所有已知素数都无法整除 SSS,所以我们找到了一个更大的素数.Q.E.D..\text{Q.E.D..}Q.E.D.. 性质2 对于正整数 p,qp,qp,q,若 ppp 是

1078 Hashing (25 分)   The task of this problem is simple: insert a sequence of distinct positive integers into a hash table, and output the positions of the input numbers. The hash function is defined to be ( where TSize is the maximum size of the ha

题目大意,给定l和u,求区间[l,u]内的素数中,相邻两个差最大和最小的素数其中 u的范围达到了2e9本质上需要找出n以内的所有素数,使用筛法.先保存50000(大于sqrt(2e9))内的所有素数,然后再去筛出区间[l,u]内的素数(题上给定l-u<=1000000)所以可以存下所有素数又由素数分布定理 素数个数s(n)~n/lnn并不是很大,所以找到所有素数保存在prime[]中扫一遍即可得到答案代码如下 #include<stdio.h> #include<string.h&

BZOJ1053 反素数ant 我们先考虑唯一分解定理求出约数个数: \(x=a_1^{p_1}a_2^{p_2}a_3^{p_3}...a_k^{p_k}\) 然后\(num=\Pi_{i=1}^k{p_i+1}\) 2,000,000,000中不同的素数因子大概是11个. 直接爆搜答案就好了. #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #include<math.h> #include

枚举1--求小于n的最大素数 总结: 素数是不能被比它小的素数整除. /* 枚举就是基于已有知识镜像答案猜测的一种问题求解策略 问题:求小于n的最大素数 分析: 找不到一个数学公式,使得根据N就可以计算出这个素数 我们思考: N-1是素数么?N-2是素数吗?... 所以我们就是判断N-K是否为素数: N-K是素数的充分必要条件:N-K不能被[2,n-k)中任何一个整除 判断N-K是否为素数的问题可以转化为: 求小于N-K的全部素数(求“小于N的最大素数”中的条件是“n不能被[2,n)中任意一个素

题目链接 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3601 题解 首先还是基本的推式子: \[\begin{aligned}f_d(n) &= \sum_{i = 1}^n [{\rm gcd}(i, n) = 1]i^d \\ &= \sum_{i = 1}^n i^d \sum_{k | i, k | n}\mu(k) \\ &= \sum_{k | n} \mu(k) \sum_{k | i} i^d \\ &

板题 Miiler-Robin素数测试 目前已知分解质因数以及检测质数确定性方法就只能\(sqrt{n}\)试除 但是我们可以基于大量测试的随机算法而有大把握说明一个数是质数 Miler-Robin素数测试基于以下两个原理: 费马小定理 即我们耳熟能详的 对于质数\(p\) \[a^{p - 1} \equiv 1 \pmod p\] 二次探测原理 对于质数\(p\),如果存在\(x\)满足 \[x^2 \equiv 1 \pmod p\] 那么\(x\)只能是\(1\)或者\(p - 1\)

gcd(x,y)(1<=x,y<=n)为素数(暂且把(x,y)和(y,x)算一种) 的个数 <=> gcd(x/k,y/k)=1,k是x的质因数 的个数 <=> Σφ(x/k) (1<=x<=n,k是x的质因子) 这样的复杂度无法接受, ∴我们可以考虑枚举k,计算Σφ(q/k) (k是n以内的质数,q是n以内k的倍数),即Σ[φ(1)+φ(2)+φ(3)+...+φ(p)] (p=n/k) 介个phi的前缀和可以预处理粗来. 但是(x,y)和(y,x)并不同

spark-初阶①(介绍+RDD) Spark是什么? Apache Spark 是一个快速的, 多用途的集群计算系统, 相对于 Hadoop MapReduce 将中间结果保存在磁盘中, Spark 使用了内存保存中间结果, 能在数据尚未写入硬盘时在内存中进行运算. Spark的特点(优点) 速度快 Spark 的在内存时的运行速度是 Hadoop MapReduce 的100倍 基于硬盘的运算速度大概是 Hadoop MapReduce 的10倍 Spark 实现了一种叫做 RDDs 的 D