整数的阶:设a和n是互素的正整数,使得a^x=1(mod n)成立的最小的正整数x称为a模n的阶 //求阶模板:A^x=1(mod M),调用GetJie(A,M) //输入:10^10>A,M>1 //输出:无解返回-1,有解返回最小正整数x //复杂度:O(M^(0.5)) long long gcd(long long a,long long b) { ) return a; return gcd(b,a%b); } //欧拉函数:复杂度O(n^(0.5)),返回[1,n-1]中所有和n

扩展欧几里得算法模板 #include <cstdio> #include <cstring> #define ll long long using namespace std; ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { ) { x = , y = ; return a; } else { ll r = extend_gcd(b, a%b, y, x); y -= x*(a/b); return r; } } 1.对于形如a

                                              青蛙的约会(点击跳转) 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置.不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的.但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的.为了帮助这

这两题都是求解同余方程,并要求出最小正整数解的 对于给定的Ax=B(mod C) 要求x的最小正整数解 首先这个式子可转化为 Ax+Cy=B,那么先用exgcd求出Ax+Cy=gcd(A,C)的解x 然后这个式子的一个特解就是 (B/gcd(A,C))* x 要注意如果gcd(A,C)无法整除B,那么这个式子无解 然后是求出最小整数解 Ax+Cy=B 方程的通解是 x+k*C/gcd(A,C), 另s=C/gcd(A,C) 所以最小整数解是(x%s+s)%s 青蛙题 /* x+km=y+kn(m

因为是同余,所以就是(x+mT)%L-(y+nT)%L=0.可以写成(x-y+(m-n)T)%L=0.就是这个数是L的倍数啦.那么我可以这样x-y+(m-n)T + Ls = 0.就可以了,s可正可负,就能满足条件. #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; #

Biorhythms 题意:读入p,e,i,d 4个整数,已知(n+d)%23=p;   (n+d)%28=e;   (n+d)%33=i ,求n .        (题在文末) 知识点:中国剩余定理. /*解释*/ 题解:已知(n+d)%23=p;   (n+d)%28=e;   (n+d)%33=i        33×28×a模23的逆元为8,  则33×28×8=5544:        23×33×b模28的逆元为19,则23×33×19=14421:        23×28×c模3

题目大意: 已知线性方程ax+by=1; 输入a, b的值, 要求输出整数解x, y的值(输出x, y的最小整数解), 若没有解, 输出"sorry".   分析: 求线性方程的解用扩展欧几里得算法,令gcd(a,b)=d, 如果1是d的倍数表示方程有解, 否则无解.           代码如下:         #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include &l

欧几里德算法 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数. 基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b). 第一种证明: a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数,则有 d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 假设d 是(b,a mod b)的公约数,则 d | b , d |r ,但是a

题目链接: http://www.bnuoj.com/v3/problem_show.php?pid=20172 题目大意:有C个模方程,每个方程可能有k余数,求最小的S个解. 解题思路: 看见模方程就想到中国剩余定理,然后看下确定的方程情况. 由乘法原理,共有II ki 种情况,即求解II ki 次.k比较大时基本完蛋. 其实解模方程还有一种暴力方法,就是选定一个模方程,令t=0,1...., n=t*LCM+余数(n一定要大于0) 通过t不断增大这种迭代方式从小到大创造一些可能解n,然后去测

原博网址:http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html 欧几里德算法 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数. 基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b). 第一种证明: a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数,则有 d|a, d|b,而r = a -

题目描述 Hanks 博士是 BT (Bio-Tech,生物技术) 领域的知名专家.现在,他正在为一个细胞实 验做准备工作:培养细胞样本. Hanks 博士手里现在有 N 种细胞,编号从 1~N,一个第 i 种细胞经过 1 秒钟可以分裂为 Si个同种细胞(Si为正整数).现在他需要选取某种细胞的一个放进培养皿,让其自由分裂, 进行培养.一段时间以后,再把培养皿中的所有细胞平均分入 M 个试管,形成 M 份样本, 用于实验.Hanks 博士的试管数 M 很大,普通的计算机的基本数据类型无法存储这样

求解方程组 X%m1=r1 X%m2=r2 .... X%mn=rn 首先看下两个式子的情况 X%m1=r1 X%m2=r2 联立可得 m1*x+m2*y=r2-r1 用ex_gcd求得一个特解x' 得到X=x'*m1+r2 X的通解X'=X+k*LCM(m1,m2) 上式可化为:X'%LCM(m1,m2)=X 到此即完成了两个式子的合并,再将此式子与后边的式子合并,最后的得到的X'即为答案的通解,求最小整数解即可. #include<stdio.h> #include<string.h

设跳的次数为t 根据题意可得以下公式:(x+mt)%L=(y+nt)%L 变形得 (x+mt)-(y+nt)=kL (n-m)t+kL=x-y 令a=(n-m),b=L,c=x-y 得 at+bk=c 此时就相当于求解二元不定方程ax+by=c的最小整数解 1.先计算Gcd(a,b),若n不能被Gcd(a,b)整除,则方程无整数解:否则,在方程两边同时除以Gcd(a,b),得到新的不定方程a' * x + b' * y = c',此时Gcd(a',b')=1; 2.利用欧几里德算法求出方程a'

题目链接:http://www.spoj.com/problems/EQU2/ 题意:给出方程x^2-n*y^2=1的最小整数解. 思路:参见金斌大牛的论文<欧几里得算法的应用>. import java.util.*; import java.math.*; import java.io.*; public class Main { static BigInteger ONE=BigInteger.valueOf(1); static BigInteger ZERO=BigInteger.v

题意:有m个石头围成一圈,编号分别为0到m-1,现在有n只青蛙,都在0号石头上,第i只青蛙会从当前编号为p的石头跳到编号为(p+ai)%m的石头上.被青蛙经过的石头都会被占领,求这m块石头中所有被占领过的石头的编号和. 题解:对于第i只青蛙,它所能跳到的最小的位置是gcd(ai, m) 设最小位置为z,需要跳x圈,跳了y步,可得方程:x*m+z=ai*y 即:x*m-ai*y = z  由扩展欧几里得定理可知,z的最小整数解为gcd(m,ai) 因为对于单独的每一只青蛙计算结果会重复计算,所以利

求一个 的最小整数解 bsgs 当h是质数的时候使用 extbsgs 不满足上面那种情况的时候 具体参见http://tonyfang.is-programmer.com/posts/178997.html ll gcd(ll a,ll b) { return b?gcd(b,a%b):a; } ll bsgs(ll A,ll B,ll C) { ll m,v,e=,i; m=ceil(sqrt(C)); map<ll,ll> hash; hash[]=m; ;i<m;++i) { e=

扩展欧几里得算法. void exgcd(int a,int b,int&x,int&y){ if(!b) { x=1;y=0;return ; } exgcd(b,a%b,x,y); int temp=x;x=y;y=temp-a/b*y; } 1)ax+by=c. 有解的条件是c%gcd(a,b)==0,因为ax+by=gcd(a,b)一定有解. 设解是x0,y0,则通解 x=x0+(b/gcd(a,b))*t  y=y0-(a/gcd(a,b))*t 2)ax ≡1 (mod m)

Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 131072K Total Submissions: 8476   Accepted: 2554 Description Elina is reading a book written by Rujia Liu, which introduces a strange way to express non-negative integers. The way is described as following: Choose k

http://poj.org/problem?id=2115 题意:对于C的循环(for i = A; i != B; i+=C)问在k位存储系统内循环多少次结束: 若循环有限次能结束输出次数,否则输出 FOREVER: 解:设x为循环次数:  (A+C*x)%2^k = B; 则 C*x+A = 2^k*y+B; 所以 C*x - 2^k*y = B-A; 类似于a*x+b*y = c (或 a*x = c(mod b))模线性方程的形式,所以可以根据扩展欧几里得算法解决 #include<s

题目链接: http://poj.org/problem?id=1006 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1370 题目大意: (X+d)%23=a1,(X+d)%28=a2,(X+d)%33=a3,给定a1,a2,a3,d,求最小的X. 题目思路: [中国剩余定理] 23,28,33互素,可以套中国剩余定理. 也可以直接手算逆元. 33×28×a模23的逆元为8,则33×28×8=5544: 23×33×b模28的逆元为19,则23×33×1

给出方程a*x+b*y=c,其中所有数均是整数,且a,b,c是已知数,求满足那个等式的x,y值?这个方程可能有解也可能没解也可能有无穷多个解(注意:这里说的解都是整数解)? 既然如此,那我们就得找出有解和无解的条件! 先给出定理:方程a*x+b*y=c有解,当且仅当 c%gcd(a,b)=0. 定理的证明很容易,如下: 证明: 若c%gcd(a,b)=0,则一定存在一个整数K,有c=K*gcd(a,b), 而我们知道a*x+b*y=gcd(a,b)一定存在解(x1, y1),所以就有K*(a*x