这个问题似乎有很多种求法,但感觉上第二类Strling数的做法是最方便的. 问题 求下面这个式子: ∑i=0nik\sum_{i=0}^n i^ki=0∑n​ik nnn的范围可以很大. 第二类Strling数 第二类Strling数记作S(n,m)S(n,m)S(n,m).SnmS_n^mSnm​. 定义:将nnn个相同的球放在mmm个不同的箱子里的方案数(其中的每一个箱子至少有一个球). 很容易推出一个式子:Snm=Sn−1m−1+mSn−1mS_n^m=S_{n-1}^{m-1}+mS_{

题目链接: http://codeforces.com/problemset/problem/140/E 题意: 圣诞树上挂彩球,要求从上到下挂\(n\)层彩球.已知有\(m\)种颜色的球,球的数量不限. 要求结果对\(p\)取模.然后给你\(n\)个数,表示第 \(i\) 根绳长 \(l_i\),也就是要挂 \(l_i\) 个球. \(1.\)要求每根绳上相邻彩球颜色不同. \(2.\)相邻的绳子上挂的彩球种类不能相同. 题解: 我们先解决子问题,先考虑第 \(i\) 层上能放多少个球,\(a

Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门 神仙题,只不过感觉有点强行二合一(?). 首先考虑什么样的数组 \(a\) 符合条件,我们考虑一个贪心的思想,我们从前到后遍历,对于每一个 \(a_i\) 如果它已经在前面出现了就不断给它加 \(1\) 直到它没有出现过为止.如果某个 \(a_i\) 超过了 \(n\) 则不符合条件,正确性显然.这样看起来还是有点抽象,我们不妨把它转化成这样的模型:有一架飞机有 \(n\) 个位置,有 \(n\) 个乘客要登飞机,每个乘客都预定了一个位置 \

题目链接 题意 : 其实就是要求 分析 : 先暴力将次方通过第二类斯特林数转化成下降幂 ( 套路?) 然后再一步步化简.使得最外层和 N 有关的 ∑ 划掉 这里有个技巧就是 将组合数的表达式放到一边.然后通过组合意义来化简 然后就可以 O( k ^ 2 ) 算出答案了 另外化到后面其实有种产生 这里可以用另外一种方式化简 考虑其组合意义 相当于先从 n 个数中挑出 i 个数.然后再从 i 个数中取 j 个进行排列 其他数可选可不选 具体可以看 Click here #include<bits/s

传送门 解题过程: \(答案=\sum^n_{i=0}*C^i_n*{\frac{1}{m}}^i*{\frac{m-1}{m}}^{n-i}*i^k\) 根据第二类斯特林数的性质\(n^k=\sum^k_{i=0}S^i_k*i!*C^i_n=\sum^k_{i=0}S^i_k*n^\underline{i}\)将普通幂转为下降幂 \(=\sum^n_{i=0}C^i_n*{\frac{1}{m}}^i*{\frac{m-1}{m}}^{n-i}\sum^k_{j=0}S^j_k*i^\und

题目链接:http://codeforces.com/gym/101147/problem/G G. The Galactic Olympics time limit per test 2.0 s memory limit per test 64 MB input galactic.in output standard output Altanie is a very large and strange country in Mars. People of Mars ages a lot. So

[CF961G]Partitions(第二类斯特林数) 题面 CodeForces 洛谷 题解 考虑每个数的贡献,显然每个数前面贡献的系数都是一样的. 枚举当前数所在的集合大小,所以前面的系数\(p\)就是: \[\begin{aligned} p&=\sum_{i=1}^n{n-1\choose i-1}i\begin{Bmatrix}n-i\\k-1\end{Bmatrix}\\ &=\sum_{i=1}^n{n-1\choose i-1}i\frac{1}{(k-1)!}\sum_{

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4045 Machine schedulingTime Limit: 5000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1933 Accepted Submission(s): 711 Problem DescriptionA Baidu’s engineer needs to anal

题目 CF932E Team Work 前置:斯特林数\(\Longrightarrow\)点这里 做法 \[\begin{aligned}\\ &\sum\limits_{i=1}^n C_n^ii^k\\ &\sum\limits_{i=1}^n C_n^i\sum\limits_{j=0}^iC_i^j\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\\ &\sum\limits_{i=1}^n \frac{n!}{(n-i)!}\sum\limits_{

题目链接:http://codeforces.com/gym/101147/problem/G 题意:n个人,去参加k个游戏,k个游戏必须非空,有多少种放法? 分析: 第二类斯特林数,划分好k个集合后乘以阶乘: #include <bits/stdc++.h> using namespace std; ; + 7L; long long stir[maxn][maxn]; long long fac[maxn]; void init() { fac[] = fac[] = ; ;i<=;

传送门 对于每一个元素,我们只要能求出它的出现次数\(sum\),那么每个元素的贡献都是一样的,最终的答案为\(sum\times \sum_{i=1}^n w_i\) 那么分别讨论 如果这个元素自己单独一个集合,那么方案数为\(S(n-1,k-1)\)(这个\(S\)是第二类斯特林树),也就是讨论其它的\(n-1\)个怎么放,每一种方案的贡献都是\(1\),所以这一部分的贡献就是\(S(n-1,k-1)\) 如果这个元素和其它元素一起放在一个集合里,那么剩下\(n-1\)个元素放的方案数为\(

http://swjtuoj.cn/problem/2382/ 题目的难点在于,用k种颜色,去染n个盒子,并且一定要用完这k种颜色,并且相邻的格子不能有相同的颜色, 打了个表发现,这个数是s(n, k) * k! s(n, k)表示求第二类斯特林数. 那么关键是怎么快速求第二类斯特林数. 这里提供一种O(k)的算法. 第二类斯特林数: #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <

题目链接:https://vjudge.net/problem/HDU-4045 Machine scheduling Time Limit: 5000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1907    Accepted Submission(s): 702 Problem Description A Baidu’s engineer needs to an

传送门 题意: 一开始有很多怪兽,每个怪兽的血量在\(1\)到\(n\)之间且各不相同,\(n\leq 10^{13}\). 然后有\(m\)种没有出现的血量,\(m\leq 50\). 现在有个人可以使用魔法卡片,使用一张会使得所有的怪兽掉一点血,如果有怪兽死亡,则继续施展魔法. 这个人能够获得一定的分数,分数计算如下,每一次使用卡片前,假设一个怪兽血量为\(x\),那么获得\(x^k\)的分数.\(k\)为杀死所有怪兽需要的卡片数量. 求最后总的分数. 思路: 因为\(m\)很小,那么我们可

传送门 题意: 给出\(n\)个元素,每个元素有价值\(w_i\).现在要对这\(n\)个元素进行划分,共划分为\(k\)组.每一组的价值为\(|S|\sum_{i=0}^{|S|}w_i\). 最后询问所有划分的总价值. 思路: 直接枚举划分不好计算,考虑单独计算每一个元素的贡献,那么就有式子: \[ \sum_{i=1}^nw_i\sum_{j=1}^{n-k+1}{n-1\choose j-1}\begin{Bmatrix} n - j \\ k - 1 \end{Bmatrix}j \]

传送门 题意: 求\(\displaystyle \sum_{i=0}^n{n\choose i}i^k,n\leq 10^9,k\leq 5000\). 思路: 将\(i^k\)用第二类斯特林数展开,推导方式如:传送门. 但这个题要简单一些,不用\(NTT\)预处理,直接递推就行. 详见代码: /* * Author: heyuhhh * Created Time: 2019/12/12 10:42:37 */ #include <iostream> #include <algorit

传送门 题意: 从\(n\)个人中选\(r\)个出来,但每两个人的标号不能少于\(k\). 再将\(r\)个人分为不超过\(m\)个集合. 问有多少种方案. 思路: 直接\(dp\)预处理出从\(n\)个人选\(r\)个的方案,第二类斯特拉数处理分组的情况即可. /* * Author: heyuhhh * Created Time: 2019/12/10 19:14:48 * dp预处理+第二类斯特林数 */ #include <iostream> #include <algorith

大致题意: n个孩子,k场比赛,每个孩子至少参加一场比赛,且每场比赛只能由一个孩子参加.问有多少种分配方式. 分析: k>n,就无法分配了. k<=n.把n分成k堆的方案数乘以n的阶乘.N分成k堆得方案数即第二类斯特林数 http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8521134 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const ll

[BZOJ5093]图的价值(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 单独考虑每一个点的贡献: 因为不知道它连了几条边,所以枚举一下 \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k·2^{\frac{n(n-1)}{2}}\] 因为有\(n\)个点,所以还要乘以一个\(n\) 所以,我们真正要求的就是: \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k\] 怎么做? 看到了\(i^k\)想到了第二类斯特林数 \[m^n=\sum_{i=0}^{m}

[BZOJ4555]求和(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 推推柿子 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nj!·2^j(\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^k·C_j^k·(j-k)^i)\] \[=\sum_{j=0}^n2^j\sum_{k=0}^j(-1)^k

传送门:CF原网 洛谷 题意:给定 $n,k$,求 $\sum\limits^n_{i=1}\dbinom{n}{i}i^k\bmod(10^9+7)$. $1\le n\le 10^9,1\le k\le 5000$. 很水的一道题. 根据第二类斯特林数的性质: $$n^k=\sum^k_{i=1}\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}i!\dbinom{n}{i}$$ 那么直接套进去: $$\sum\limits^n_{i=1}\dbinom{n}{i}\sum^k