Hoeffding霍夫丁不等式 在<>第八章"集成学习"部分, 考虑二分类问题\(y \in \{-1, +1\}\) 和真实函数\(f\), 假定基分类器的错误率为\(\epsilon\), 即对每个基分类器\(h_{i}\)有 \[ \begin{equation} P(h_{i}(x) \neq f(x)) = \epsilon \end{equation} \] 假设集成通过简单投票法结合\(T\)个基分类器, 若有超过半数的基分类器正确, 则集成分类就正确: \[

问题 假设空间的样本复杂度(sample complexity):随着问题规模的增长导致所需训练样本的增长称为sample complexity. 实际情况中,最有可能限制学习器成功的因素是训练数据的有限性. 在使用学习器的过程中,我们希望得到与训练数据拟合程度高的假设(hypothesis).(在前面文章中提到,这样的假设我们称之为g). 这就要求训练错误率为0.而实际上,大部分情况下,我们找不到这样的hypothesis(通过学习机得到的hypothesis)在训练集上有错误率为0. 所以退

本文转载自 火光摇曳 原文链接:VC维的来龙去脉 目录: 说说历史 Hoeffding不等式 Connection to Learning 学习可行的两个核心条件 Effective Number of Hypotheses Growth Function Break Point与Shatter VC Bound VC dimension 深度学习与VC维 小结 参考文献 VC维在机器学习领域是一个很基础的概念,它给诸多机器学习方法的可学习性提供了坚实的理论基础,但有时候,特别是对我们工程师而言

提纲: 机器学习为什么可能? 引入计算橙球概率问题 通过用Hoeffding's inequality解决上面的问题,并得出PAC的概念,证明采样数据学习到的h的错误率可以和全局一致是PAC的 将得到的理论应用到机器学习,证明实际机器是可以学习 机器学习的大多数情况下是让机器通过现有的训练集(D)的学习以获得预测未知数据的能力,即选择一个最佳的h做为学习结果,那么这种预测是可能的么?为什么在采样数据上得到的h可以认为适用于全局,也就是说其泛化性的本质是什么? 课程首先引入一个情景: 如果有一个装

线性回归中有欠拟合与过拟合,例如下图: 则会形成欠拟合, 则会形成过拟合. 尽管五次多项式会精确的预测训练集中的样本点,但在预测训练集中没有的数据,则不能很好的预测,也就是说有较大的泛化误差,上面的右边与左边的图都有很大的泛化误差,他们的情况各不相同,如果数据是非线性的,我们无法使用线性模型来精确的预测,即它的偏差很大,引起欠拟合.而如果像上面右图那样形成一个五次多项式的模型,很可能是我们的训练集数据很小的情况下建立的,它就不能反映出x与y更广泛的关系,这种模型有很大的偏差,引起过拟合.所以归根

Empiricial Risk Minimization 统计学习理论是整个机器学习到框架.试想我们学习的目的是什么呢?当然是为了具备用合理的方式处理问题的能力.统计学习理论要解决的问题就是基于数据找到一个预测函数.经验风险最小化(Empiricial Risk Minimization,ERM)[2]是统计学习理论中准则之一,常用于给出学习算法(learning algorithms)性能的理论边界. 假定给定两个数据空间\(X\)和\(Y\), 我们想学习到一个假设函数(hypothesis

dual svm 对偶SVM linear SVM 可以用二次规划方法解 xn通过非线性转换变成zn SVM配合非线性特征转换 透过large-margin降低模型复杂度 透过特征转换得到弯弯曲曲的边界 无限维度有没有可能 挺复杂的数学问题,有些问题略过,就好像hoeffding不等式

该章节证明用到的不等式:Hoeffding不等式,McDiarmid不等式以及jensen不等式 Hoeffding's: McDiarmid不等式是Hoeffding不等式的一个推广,用f(S)代替了和函数Sm,用ci代替了(bi-ai): Jensen’s inequality: If x is a random variable and φ is a convex function,then: φ(E(x))<=E(φ(x)) 在前面PAC Learning Model的推广中,只证明了对

本文结构: 什么是集成学习? 为什么集成的效果就会好于单个学习器? 如何生成个体学习器? 什么是 Boosting? Adaboost 算法? 什么是集成学习 集成学习就是将多个弱的学习器结合起来组成一个强的学习器. 这就涉及到,先产生一组‘个体学习器’,再用一个策略将它们结合起来. 个体学习器可以选择:决策树,神经网络.集成时可以所有个体学习器属于同一类算法:全是决策树,或全是神经网络:也可以来自不同的算法.结合策略:例如分类问题,可以用投票法,少数服从多数. 之所以用这种集成的思想,是因为单

VC维的来龙去脉——转载自“火光摇曳” 在研究VC维的过程中,发现一篇写的很不错的VC维的来龙去脉的文章,以此转载进行学习. 原文链接,有兴趣的可以参考原文进行研究学习 目录: 说说历史 Hoeffding不等式 Connection to Learning 学习可行的两个核心条件 Effective Number of Hypotheses Growth Function Break Point与Shatter VC Bound VC dimension 深度学习与VC维 小结 参考文献 VC

集成学习,又称为“多分类器系统”(multi-classifier system).“基于委员会的学习”(committee-based learning)等.基本的想法是结合多个学习器,获得比单一学习器泛化性能更好的学习器. 根据个体学习器的生成方式,目前集成学习大致可分为两大类: 序列化方法:个体学习器间存在强依赖关系.必须串行生成,代表是Boosting: 并行化方法:个体学习器间不存在强依赖关系.可同时生成,代表是Bagging和“随机森林”(Random Forest). 一.利用Ho

第六部分内容: 1.偏差/方差(Bias/variance) 2.经验风险最小化(Empirical Risk Minization,ERM) 3.联合界(Union bound) 4.一致收敛(Uniform Convergence) 第七部分内容: 1. VC 维 2.模型选择(Model Selection) 2017.11.3注释:这两个部分都是讲述理论过程的,第一方面太难了,第二方面现在只想快速理解Ng的20节课程.所以这部分以后回头再看!  2017.11.4注释:这理论还是得掌握,

写在前面:机器学习的目标是从训练集中得到一个模型,使之能对测试集进行分类,这里,训练集和测试集都是分布D的样本.而我们会设定一个训练误差来表示测试集的拟合程度(训练误差),虽然训练误差具有一定的参考价值.但实际上,我们并不关心对训练集合的预测有多么准确.我们更关心的是对于我们之前没有见过的一个全新的测试集进行测试时,如果利用这个模型来判断,会表现出怎么样的性能,即一般误差.因此,这也要求我们的模型需要具备一定的泛化能力.泛化能力弱,就会出现欠拟合与过拟合的情况. 偏差/方差(Bias/varia

机器学习中,我们根据训练集训练一个模型,来对测试数据进行预测.通常我们并不关心模型在训练集上的好坏(即训练误差,in sample error),举个简单例子,我们想要根据前六个月股市行情训练一个模型来对未来股市走向进行预测,即使我们的算法在过去的数据上做的再精准都没有任何意义,我们希望模型在未来某一天能够预测的准,这样我们才能赚大钱.因此我们更着重于其在从未见过的数据(测试集)上的正确率(即泛化误 差,generalization error.out sample error).因为泛化误差从

这一节讲述的是机器学习的核心.根本性问题——学习的可行性.学过机器学习的我们都知道,要衡量一个机器学习算法是否具有学习能力,看的不是这个模型在已有的训练数据集上的表现如何,而是这个模型在训练数据外的数据(一般我们称为测试数据)上性能的好坏,我们把这个性能称为泛化能力(generalization ability),机器学习中,我们的目标是寻找高泛化能力的模型:有些模型虽然在训练数据集上分类效果很好,甚至正确率达到100%,但是在测试数据集上效果很差,这样的模型泛化能力很差,这种现象也叫过拟合(O

本文转自VC维的来龙去脉 本文为直接复制原文内容,建议阅读原文,原文排版更清晰,且原网站有很多有意思的文章. 阅读总结: 文章几乎为台大林老师网课“机器学习可行性”部分串联总结,是一个很好的总结. Hoeffding不等式 -> 学习可行的两个核心条件 -> 有效假设 -> 成长函数 -> VC维 以下为原文: 目录: 说说历史 Hoeffding不等式 Connection to Learning 学习可行的两个核心条件 Effective Number of Hypothese

紧接上一讲的Break Point of H.有一个非常intuition的结论,如果break point在k取到了,那么k+1, k+2,... 都是break point. 那么除此之外,我们还能获得那些讯息? 这里举了一些例子,核心就是说下面的事情 简言之,如果H有Break Point k,那么当N大于k的时候,mH(N)会大大地缩减(对于binary classification来说是pow(2, N) ). 按照这个思路,自然就想知道,既然mH(N)会大大缩减,能缩减到啥程度?(如

这一节的核心内容在于如何由hoeffding不等式 关联到机器学习的可行性. 这个PAC很形象又准确,描述了“当前的可能性大概是正确的”,即某个概率的上届. hoeffding在机器学习上的关联就是: 如果样本数量足够大,那么在训练集上获得的学习效果是可以平移到测试集上的.即如下, 这里保证的仅仅是“训练集的效果平移到测试集”,平移的仅仅是效果,没说效果好坏:如果训练效果是垃圾的,那么测试效果也基本是垃圾的. 如果假设空间是有限的,那么结果又如何呢?如下, 如果假设空间是有限的,根据公式推导:当

前边讨论了我们介绍了成长函数和break point,现在继续讨论m是否成长很慢,是否能够取代M. 成长函数就是二分类的排列组合的数量.break point是第一个不能shatter(覆盖所有情形)的点. 1.break point对成长函数的限制 我们希望 这里引入上限函数 bound function:给了break point,看看可以组成多少排列组合,下面证明boundfunction是多项式成长的. 右上角相当于没有加条件限制,对角线就是全部的减1嘛,因为全部不可能,小一点,找个上限

前边由Hoeffding出发讨论了为什么机器可以学习,主要就是在N很大的时候Ein PAC Eout,选择较小的Ein,这样的Eout也较小,但是当时还有一个问题没有解决,就是当时的假设的h的集合是个数是有限的,那么本文继续讨论h个数为无限的情况.http://www.cnblogs.com/futurehau/p/6235348.html 其实之前的问题可以分类两个方面: 一方面:Ein 是否约等于 Eout 另一方面:Ein时候足够小. 所以,选择合适的M是很重要的,现在加入M为无限大的情况