题面 传送门 题解 嗯--还是懒得写了--这里 //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define IT map<int,int>::iterator #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i) #define go(u) for(int i=head[u]

1220 约数之和 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_1(ij)​\) \[ \sigma_0(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}[(x,y)=1]\\ \sigma_1(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}x\cdot\frac{j}{y}[(x,y)=1] \\ \] 怎么证明第二个式子? \[ \sigma_1(n) = \prod_i(1 + p_i + p_i^2 + ...

题面 令d(n)d(n)d(n)表示nnn的约数之和求 ∑i=1n∑j=1nd(ij)\large\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nd(ij)i=1∑n​j=1∑n​d(ij) 题目分析 先给结论 d(ij)=∑x∣i∑y∣jxj/y[(x,y)==1]\large d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}xj/y[(x,y)==1]d(ij)=x∣i∑​y∣j∑​xj/y[(x,y)==1] 可以通过 传送门 类似的证明方法证明 拖更- AC code #includ

首先由这样一个式子:\( d(ij)=\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1]\frac{pj}{q} \)大概感性证明一下吧我不会证 然后开始推: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1]\frac{pj}{q} \] \[ \sum_{p=1}^{n}\sum_{q=1}^{n}[gcd(p,q)==1]\sum_{p|i}\sum_{q|j}\frac{pj}{q} \] \[

我也不知道什么是"莫比乌斯反演"和"杜教筛" Part0 最近一直在搞这些东西 做了将近超过20道题目吧 也算是有感而发 写点东西记录一下自己的感受 如果您真的想学会莫比乌斯反演和杜教筛,请拿出纸笔,每个式子都自己好好的推一遍,理解清楚每一步是怎么来的,并且自己好好思考. Part1莫比乌斯反演 莫比乌斯反演啥都没有,就只有两个式子(一般只用一个) 原来我已经写过一次了,再在这里写一次 就只写常用的那个吧 基本的公式 对于一个函数\(f(x)\) 设\(g(x)=\

Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sample Input 2 Sample Output 8 HINT 对于100%的数据n <= 10^9. 题解: 解锁新技能:杜教筛. 再复习一下: 若$F(n)=\s

BZOJ_4176_Lucas的数论_杜教筛+莫比乌斯反演 Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模100000

BZOJ_3944_Sum_杜教筛 Description Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Output 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 学习下杜教筛,推一波式子. 首先有反演式子$\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=

题目大意 定义复数\(a+bi\)为整数\(k\)的约数,当且仅当\(a\)和\(b\)为整数且存在整数\(c\)和\(d\)满足\((a+bi)(c+di)=k\). 定义复数\(a+bi\)的实部为\(a\),虚部为\(b\). 定义\(f(n)\)为整数\(n\)的所有实部大于\(0\)的约数的实部之和. 给定正整数\(n\),求出\(\sum_{i=1}^nf(i)\)对\(1004535809\)取模后得到的值. \(n\leq {10}^{10}\) 题解 以前看到一个数论题就是反演

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛 莫比乌斯反演 做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1

题意:求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nd(ij),d是约数个数函数\) 题解:首先有一个结论\(d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(i,j)==1]\) 那么\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d|(i,j)}\mu(d)\) 枚举d,\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d|i,d|j}\mu(d)d(\frac{i}{d})d(\frac{j}{d})=\s

4176: Lucas的数论 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MB Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Ou

BZOJ3944: Sum(杜教筛模板) 题面描述 传送门 题目分析 求\(\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\)和\(\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)\) 数据范围线性不可做. 需要使用杜教筛. 杜教筛可以在非线性时间里求出一个积性函数的前缀和. 借这里先写一些杜教筛内容...或许以后会补总结(雾 最开始扔积性函数: \(\mu(n)\),莫比乌斯函数 \(\phi(n)\),欧拉函数. \(d(n)\),约数个数. \(\sigma(n)\),约数和函数. \(\eps

题意概述:求,n<=10^9,其中d(n)表示n的约数个数. 分析: 首先想要快速计算上面的柿子就要先把d(ij)表示出来,有个神奇的结论: 证明:当且仅当a,b没有相同的质因数的时候我们统计其贡献,可以发现所有被统计的(a,b)乘积的质因数分解形式正好和i,j的所有因数的质因数分解形式一一对应,不重不漏(对于b中质因数指数不为0对应的就是i中指数+b中指数的情况,对于b中质因数指数为0的情况对应i中指数的情况). 然后就有如下的推导: 对于这个式子,整个数字分段来算,n/d一共sqrt(n)种

Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目"求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N",其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sample Input 2

点此看题面 大致题意: 求\(1\sim n\)内所有满足\(a>0\)的约数\(a+bi\)的\(a\)之和. 解题思路 首先,我们设\(x=(a+bi)(c+di)(1\le x\le n)\),则: \[x=(ac-bd)+(ad+bc)i\] 由于\(x\)是一个实数,因此: \[①②\begin{cases}ac-bd=x,①\\ad+bc=0.②\end{cases}\] 而由\(②②\)式可得: \[ad+bc=0⇒ad=-bc⇒\frac ab=-\frac cd\] 设\(\f

\(\color{#0066ff}{题 目 描 述}\) 给定一个正整数\(N(N\le2^{31}-1)\) 求 \(\begin{aligned} ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i) \end{aligned}\) \(\begin{aligned} ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i) \end{aligned}\) \(\color{#0066ff}{输 入 格 式}\) 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N

题面: 传送门 实际上就是求: 思路: 看到gcd就先反演一下,过程大概是这样: 明显的一步反演 这里设,S(x)等于1到x的和 然后把枚举d再枚举T变成先枚举T再枚举其约数d,变形: 后面其中两项展开,把T提出来 S那里可以数论分块,那么只要S后面那个东西可以筛出来,就可以O(sqrt(n)) 发现后面的那部分可以狄利克雷卷积一波 这明显是一个积性函数,但是n有10^10,所以不能线筛 考虑使用杜教筛,令上述函数为f,函数S为f的前缀和 套用杜教筛模板式 现在问题就是选一个合适的g函数了 我们

题目 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目"求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N",其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. 输入格式 第一行一个整数n. 输出格式 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. 输入样例 2 输出样例 8 提示 对于100%的数据

求$$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}f(ij)$$,其中$f(x)$表示$x$的约数个数,$0\leq n\leq 10^9$,答案膜$10^9+7$ 题解 首先有个妙不可言(被hjw污染了)的结论:$$f(nm)=\sum\limits_{i|n}\sum\limits_{j|m}[gcd(i,j)=1]$$ 证明:咕 那么大力推一波式子: $$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}f(ij)$