Powerful Number 筛学习笔记 用途 \(Powerful\ number\) 筛可以用来求出一类积性函数的前缀和,最快可以达到根号复杂度. 实现 \(Powerful\ number\) 的定义是每个质因子次数都 \(\ge 2\) 的数. 有如下的性质: \(1\).一个 \(Powerful\ number\) 一定可以表示为 \(a^2b^3\) 的形式. \(2\).\(n\) 以内的 \(Powerful\ number\) 个数是 \(O(\sqrt n)\) 级别的.

定义 Powerful Number(以下简称 PN)筛类似于杜教筛,可以拿来求一些积性函数的前缀和. 要求: 假设现在要求积性函数 \(f\) 的前缀和 \(F(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\),需要存在一个函数 \(g\) 满足: \(g\) 是积性函数. \(g\) 易求前缀和. 对于质数 \(p\),\(g(p)=f(p)\) . Powerful Number 定义:每个质因子次数都 \(≥2\) 的数. 性质: 所有的 PN 都可以表示成 \(a^2b^3\). \(n\)

心血来潮跑来实现以下这个东西 我们应该知道杜教筛的理论是 \(f * g=h\),那么问题在于如何找 \(g\). 之前的blog应该提到过可以令 \(g(p)=-f(p)\),这样一来 \(h\) 就只会在PN处有值.于是可以大力爆搜 \(h\),而 \(g\) 的块筛又很好处理. 但是这样复杂度会有一个下限为 \(O(n^{\frac 2 3})\),有没有办法去除呢? 办法是有的,反过来,设 \(h * g=f\). 此时我们构造 \(g(p)=f(p)\) 即可得到和上面相同的结论,但此

好久没更博客了,先水一篇再说.其实这个做法应该算是杜教筛的一个拓展. powerful number的定义是每个质因子次数都 $\geq 2$ 的数.首先,$\leq n$ 的powerful number个数是 $O(\sqrt{n})$ 的,这是因为所有powerful number显然可以表示成 $a^2b^3$,所以个数不超过 $\sum_{i=1}^{\sqrt{n}} (n/i^2)^{1/3}$,积分积一下就算出来了.求所有 $\leq n$ 的powerful number只要暴

Powerful Number   对于 \(n\in\mathbb N_+\),若不存在素数 \(p\) 使得 \(p\mid n~\land~p^2\not\mid n\),则称 \(n\) 为 Powerful Number.即,\(n\) 的每个素因子至少以二次的形式存在.不难发现,任何一个 Powerful Number \(n\) 都可以写成 \(a^2b^3~(a,b\in\mathbb N_+)\) 的形式(但不唯一).接下来,我们研究其在正整数前缀序列中出现次数的规模,有 \[

我也不想学筛法了,可你考试时候出一个新筛法就不厚道了吧,我还开始以为这是杜教筛... $tips:$学完杜教筛立马学$Powerful \ Number$筛法,此筛法强悍如斯 $Powerful \ Number$筛法 算是杜教筛的究极版$?$ 考虑筛积性函数$f$前缀和 求函数$F(n)$ $F(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$ 时间复杂度$O(\sqrt{n})$ 主要是基于$PN$的筛法 定义$:$ $PN:n$质因数分解,$n=\prod_{i=1}^{m}p_i^{e_i}

算法原理 本文参考了 zzq's blog . \(\text{powerful number}\) 的定义是每个质因子次数都 \(\ge 2\) 的数,有个结论是 \(\ge n\) 的 \(\text{powerful number}\) 只有 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 个,如何找这些数呢?用暴力 \(\text{dfs}\) 从小到达枚举质因子及其幂次即可(类似于 \(\text{min_25}\) 第二部分). 比如对于函数 \(F(p^q) = p^k\) 其中

定义 对于一个正整数 \(n\) ,若完全分解之后不存在指数 \(=1\) ,则称 \(n\) 为 \(\text{Powerful Number}\) . 可以发现的是,在 \([1,n]\) 中,\(\text{Powerful Number}\) 的数量是 \(\sqrt n\) 级别的. Powerful Number 在求积性函数前缀和中的应用 假设给出积性函数 \(f(x)\) 要求 \(\sum_{i=1}^{n} f(i)\),我们可以考虑引入一个拟合函数 \(g(x)\) 使得

题意:给定大整数n,求其质因数分解的最小质数幂 n<=1e18 思路:常规分解算法肯定不行 考虑答案大于1的情况只有3种:质数的完全平方,质数的完全立方,以及p^2*q^3,p,q>=1三种形式 前两种可以暴力判 第三种必定有一个小于10^(18/5)的因子,大概是3800 迭代分解,用vector存一下具体的情况 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned

问题 定义 \(\sigma_k(n)\) 表示 \(n\) 的所有约数的 \(k\) 次方和,即 \[\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}d^k \] 问题:求 \(\sigma_k(1),\sigma_k(2),\cdots,\sigma_k(n)\) . 线性筛 素数:直接 \(k\) 次方 . 没有的素因子:乘 \(k\) 次方 . 素因子:除掉再 \(k\) 次方 . 看不懂可以看 BZOJ2813 题解 . 杜教筛 令 \(\operatorname{Id}_k(n)

\(\mathcal{Description}\)   Link.   对于积性函数 \(f(x)\),有 \(f(p^k)=p^k(p^k-1)~(p\in\mathbb P,k\in\mathbb N_+)\).求 \(\sum_{i=1}^nf(i)\bmod(10^9+7)\).   \(n\le10^{10}\). \(\mathcal{Solution}\)   Min_25 筛是不可能的.   Powerful Number 三步走咯!考虑素数点值: \[f(p)=p^2-p \]

神题! 一眼powerful number 复习了一下+推半天. 可以发现G函数只能为\(\sum_{d}[d|x]d\) 不断的推 可以发现最后需要求很多块G函数的前缀和 发现只有\(\sqrt(n)\)的复杂度. 于是自闭了.不过这个做法可以跑过\(1e9\) 第二个subtask没有那么严格所以可以跑过 不过我CE了2333... 也没考虑\(min_25\)筛 可能学的不太精通.. 正解是发现 \(f(n)=(p^{k1}+1)(p^{k2}+1)...\) 然后 将其展开 求每个数字对

\(\mathcal{Description}\)   Link.   积性函数 \(f\) 满足 \(f(p^c)=p\oplus c~(p\in\mathbb P,c\in\mathbb N_+)\),求 \(\sum_{i=1}^n f(i)\bmod(10^9+7)\). \(\mathcal{Solution}\)   首先,考虑 \(f\) 的素数点值: \[f(p)=\begin{cases} 3,&p=2\\ p-1,&\text{otherwise} \end{cases

Go语言并发的设计模式和应用场景 以下设计模式和应用场景来自Google IO上的关于Goroutine的PPT:https://talks.golang.org/2012/concurrency.slide 本文的示例代码在: https://github.com/hit9/Go-patterns-with-channel 生成器 在Python中我们可以使用Go中我们可以使用信道来制造生成器(一种lazy load类似的东西). 当然我们的信道并不是简单的做阻塞主线的功能来使用的哦. 下面是

转:http://blog.csdn.net/kjfcpua/article/details/18265475 Go语言并发的设计模式和应用场景 以下设计模式和应用场景来自Google IO上的关于Goroutine的PPT:https://talks.golang.org/2012/concurrency.slide 本文的示例代码在: https://github.com/hit9/Go-patterns-with-channel 生成器 在Python中我们可以使用yield关键字来让一个

go version go1.11 windows/amd64 本文为解读 参考链接1 中的 菊花链 一节 的示例程序,此程序和 参考链接2 中代码有些类似:前者有范围,后者是无限循环.清楚了 参考链接1 的逻辑,就能理解 参考链接2 的代码. 测试代码——测试语句使用蓝色字: package main import ( "fmt" ) // 6.菊花链 // 数据从一端流入,从另一端流出,看上去好像一个链表 // 过滤器 func xrange2() chan int { // 从2

乱听课记录 关于树的分治问题&杂题选讲 张哲宇 边分治 (边分不是很鸡肋吗) 例题一 题目大意:给出两颗有正负边权的树,求出两个点\(u,v​\)使得两棵树中\((u,v)​\)距离的和最大.\(n \le 10^5​\). 点分治 例题二 题目大意:\(n\)个点的树,每个点有非负点权,求权值第\(k\)大的联通块.\(n,k \le 10^5\). 考虑点分治,对于每一个分治中心,进行的点分相当于多了一个"强制选该分治中心"的限制. 对于每一层的分治,我们dfs重标号,那么

Go语言语法说明 go语言中的go func(){}() 表示以并发的方式调用匿名函数func 深入讲解Go语言中函数new与make的使用和区别 前言 本文主要给大家介绍了Go语言中函数new与make的使用和区别,关于Go语言中new和make是内建的两个函数,主要用来创建分配类型内存.在我们定义生成变量的时候,可能会觉得有点迷惑,其实他们的规则很简单,下面我们就通过一些示例说明他们的区别和使用,话不多说了,来一起看看详细的介绍吧. 变量的声明 var i int var s string

字符串: 1.广义后缀自动机(大小为\(m\))上跑一个长度为\(n\)的串,所有匹配位置及在\(parent\)树上其祖先的数量的和为\(min(n^2,m)\),单次最劣是\(O(m)\). 但是如果跑多个串,总长为\(n\),可以证明所有串长相等的时候复杂度更劣,设有\(k\)个串,那么复杂度为:\(O(k(n/k)^2)\),这个时候\(k=\frac{n}{\sqrt{m}}\)最劣,是\(O(n\sqrt{m})\) 2.反串\(parent\)树就是压缩节点后缀树. 3.后缀树可以

题目描述: Soldier and Number Game time limit per test 3 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Two soldiers are playing a game. At the beginning first of them chooses a positive integer n and gives it to t