UOJ #269. [清华集训2016]如何优雅地求和 题目链接 给定一个\(m\)次多项式\(f(x)\)的\(m+1\)个点值:\(f(0)\)到\(f(m)\). 然后求: \[ Q(f,n,x) = \sum_{k = 0}^{n}f(k){n\choose k}x^k(1 - x) ^{n - k} \pmod{998244353} \] 考虑一个很巧妙的变化:组合数多项式! 设: \[ f(n)=\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}h_i \] 可以这么玩的原因是\(\b

题目链接: [清华集训2016]如何优雅地求和 题目大意:给出一个多项式$m+1$个点值$a_{0},a_{1}...a_{m}$(其中$f(i)=a_{i}$),并给出两个数$n,x$,求$Q(f,n,x)=\sum\limits_{k=0}^{n}f(k)C_{n}^{k}x^k(1-x)^{n-k}mod998244353$的值. 当$f(x)=1$时,$Q=\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}k^i(1-k)^{n-i}$,根据二项式定理可知这个式子结果为$1$.

题目链接 (BZOJ) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4734 (UOJ) http://uoj.ac/problem/269 题解 似乎大家都是用神仙构造的做法构造了一个二项式反演,然而我只会拿Stirling数爆推QAQ-- 首先考虑\(f(x)=x^m\)的情况,最后乘上一个系数求和即可. \[\sum^n_{k=0}{n\choose k}k^mx^k(1-x)^{n-k}\\ =\sum^n_{k=0}\sum^m_{

传送门 首先,如果\(f(x)=1\),那么根据二项式定理,有\(Q(f,n,k)=1\) 当\(f(x)=x\)的时候,有\[Q=\sum_{i=0}^ni\times \frac{n!}{i!(n-i)!}k^i(1-k)^{n-i}\] \[Q=\sum_{i=0}^nnk\times \frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}k^{i-1}(1-k)^{n-i}\] \[Q=nk\sum_{i=0}^n\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}k^{i-1}(1-

题面传送门 wjz:<如何优雅地 AK NOI> 我:如何优雅地爆零 首先,按照这题总结出来的一个小套路,看到多项式与组合数结合的题,可以考虑将普通多项式转为下降幂多项式,因为下降幂和组合数都可以用阶乘相除的形式表示,而对于两个组合数相乘我们有恒等式 \(\dbinom{n}{m}\dbinom{m}{k}=\dbinom{n}{k}\dbinom{n-k}{m-k}\),这样我们可以将原式中待枚举变量 \(m\) 从两个组合数中转移到一个组合数(\(\dbinom{n-k}{m-k}\))中

题目描述:求 $$\sum_{k=0}^nf(k)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}$$ 输入$n$,$f(x)$的次数上界$m$,$x$,$f(0,1,\ldots,m)$,对$998244353$取模. 数据范围:$1\leq n\leq 10^9,1\leq m\leq 2*10^4,0\leq a_i,x<998244353$ 现在来讲正解:首先我们把$f(x)$用下降幂来表示,(看到这里的快点关掉,然后自己推一推) $$\begin{align*}Ans&=\su

代码 神仙题? 看到连续的点值,那么一定是要利用到连续点值的性质,可以考虑下降幂多项式,即考虑多项式\(F(x) = \sum\limits_{i=0}^m a_ix^{\underline i}\). 因为有下降幂,下降幂和阶乘相关,所以可以考虑点值的指数型生成函数,故设\(G(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty \frac{f(i)}{i!} x^i\).我们考虑\(F(x) = x^{\underline m}\),那么\(G(x) = \sum\limits_{i

传送门 思路 神仙题.jpg 脑子一抽,想把\(f(x)\)表示成下降幂的形式,也就是 \[ f(x)=\sum_{i=0}^m f_ix_{(i)}\\ x_{(i)}=\prod_{k=0}^{i-1}(x-k)=[x\ge i]\frac{x!}{(x-i)!} \] 这样有什么好处呢?回到原来的式子,我们有 \[ \begin{align*} &\sum_{k=0}^n f(k){n\choose k}x^k(1-x)^{n-k}\\ =&\sum_{k=0}^n \sum_{i=

考的这么差二试基本不用去了 不想说什么了.就把这几天听课乱记的东西丢上来吧 这里是二试乱听课笔记ZJOI2019Round#2 ZJOI Round#1 Day1 M.<具体数学>选讲 罗煜翔-宁波市镇海中学 上升/下降阶乘幂 差分和和式 差分类似求导:和式类似积分 下降幂多项式与下降幂级数 考虑如何计算两个下降幂多项式的乘积 如何处理下降幂多项式的点值? 下降幂级数在自然数处收敛,在其他数位置基本不收敛 点值的数量大概是阶乘级别的,考虑点值的指数生成函数 那么我们选取自然数生成点值.关于点值

这不是傻逼题吗?????? 考虑到第一张是王牌的概率为 \(\frac{1}{m}\),答案就是: \[\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(\frac{1}{m})^i(1-\frac{1}{m})^{n-i}i^k \] 我们设 \(f(x)=x^k,x=\frac{1}{m}\): \[\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f(i)x^i(1-x)^{n-i} \] 然后变成 LGP6667 如何优雅地求和. 那题的瓶颈在于转化下降幂多项式,这题轻松计算出点值,然后随

前言 我最近喜欢把写的十分优美的技术文章叫做安利文.首先,文章必须是原创而非软广:其次,阅读之后不仅能快速吸纳技术要点并入门开发,还能感同身受的体会作者热情洋溢的赞美和急于分享心得体验的心情,让人感觉相见恨晚,醍醐灌顶. 安利文基于技术文章但又高于技术文章,同是经验总结,但却因为作者认真的揣摩每一个标点.断句而变得优雅.一篇满是主观感受的文章却不嚼之乏味,作者用心的指出每一个需要注意的技术亮点在文字中如蛟龙戏水,让阅读者大呼过瘾.因此,我觉得能原创分享一篇技术文章精神已经难能可贵,但若能锦上添花

概述 目前企业应用系统使用的大多数据库都是关系型数据库,关系数据库依赖的理论就是针对集合运算的关系代数.关系代数是一种抽象的查询语言,是关系数据操纵语言的一种传统表达方式.不过我们在工作中发现,很多人在面对复杂的数据库运算逻辑时会采用游标.循环.自定义函数等方式处理,因为游标是一种比较熟悉和舒适的面向过程的编程方式,很符合我们一般的逻辑思维习惯,可很不幸,这会导致糟糕的性能.显然,SQL的总体目的是你要实现什么,而不是怎样实现.大道至简,我们在工作与学习的过程中经常会发现,更好的解决方案往往是简

转自  http://tech-wonderland.net/blog/summary-of-ksum-problems.html 前言: 做过leetcode的人都知道, 里面有2sum, 3sum(closest), 4sum等问题, 这些也是面试里面经典的问题, 考察是否能够合理利用排序这个性质, 一步一步得到高效的算法. 经过总结, 本人觉得这些问题都可以使用一个通用的K sum求和问题加以概括消化, 这里我们先直接给出K Sum的问题描述和算法(递归解法), 然后将这个一般性的方法套用

在知乎上看到的问题--python有哪些优雅的代码实现. 下面的代码大概也算不上优雅. 一下代码在python3中实现 更多内容可见:http://book.pythontips.com/en/latest/args_and_kwargs.html lambda函数的使用 lambda,又称匿名函数.当我们在传入函数时,有些时候,不需要显式地定义函数,直接传入匿名函数更方便. 比如命名一个普通的函数: def f(x): return x * x 在这里,f为函数名,x是函数的参数,x*x则是函

是的,又是我,不要脸的又来混经验了.我们知道PostgreSQL是一个高度可扩展的数据库,这次我聊聊如何在PostgreSQL里创建一个优雅的type,如何理解优雅?大概就是不仅仅是type本身,其它相关的"服务"都得跟上,要像数据库自带的type一样想怎么用怎么用. 好的,我们开始. 1. CREATE TYPE PostgreSQL能够被扩展成支持新的数据类型.这一节我们先说说如何定义新的基本类型,这里的type是被定义在SQL语言层面之下的数据类型.创建一种新的基本类型要求使用低

神仙题啊... UOJ #310 题意 将原集合划分成$ A,B,C$三部分,要求满足$ A,B$不全为空且$ A$的异或和等于$ B$的异或和 求方案数 集合大小 $n\leq 10^6$ 值域$val \leq 10^6$ 题解 如果要满足$ A,B$的异或和相同,必然有$ A \cup B$中所有元素异或和为$ 0$ 如果存在这样一个集合$ A \cup B$,这之中的每个元素可以在集合$ A$中也可以在集合$ B$中 即对答案产生$ 2^{|A|+|B|}$的贡献 设每个元素$ a_i$

[UOJ#62]怎样跑得更快 题面 这个题让人有高斯消元的冲动,但肯定是不行的. 这个题算是莫比乌斯反演的一个非常巧妙的应用(不看题解不会做). 套路1: 因为\(b(i)\)能表达成一系列\(x(i)\)的和,所以我们尝试通过反演将\(x(i)\)表达成一系列\(b(i)\)的和的形式,那么就可以解出来了. 然后一个简单的化简:\(gcd(i,j)^c\cdot lcm(i,j)^d=i^d\cdot j^d\cdot gcd(i,j)c-d\). \[ \displaystyle b_i=\

RestTemplate是Spring提供的用于访问Rest服务的客户端,RestTemplate提供了多种便捷访问远程Http服务的方法,能够大大提高客户端的编写效率. 我之前的HTTP开发是用apache的HttpClient开发,代码复杂,还得操心资源回收等.代码很复杂,冗余代码多,稍微截个图,这是我封装好的一个post请求工具: 本教程将带领大家实现Spring生态内RestTemplate的Get请求和Post请求还有exchange指定请求类型的实践和RestTemplate核心方法

http://uoj.ac/problem/221 因为\(a\)和\(b\)不互质时,\(\frac ab=\frac{\frac a{(a,b)}}{\frac b{(a,b)}}\),所以只用求\(a\)和\(b\)互质时的满足条件的个数. \(\frac ab\)在\(k\)进制下是纯循环小数,我们先假设循环节长度为\(l\),这样\(\frac ab\times k^l-\frac ab\)的小数部分就是0,也就是这是个整数. \(\frac{a\left(k^l-1\right)}b

题目:http://uoj.ac/problem/347 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4220 先写了暴力分的44分.那个两棵树.其中一棵是编号连续的链.边权都是1的点好像可以线段树合并,但没写. #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; ll rdn() { ll re