SP1026 FAVDICE - Favorite Dice[期望DP]

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\(\mathcal{Description}\)

一个\(n\)面的骰子，求期望掷几次能使得每一面都被掷到

输入有\(T\)组数据，每次输入一个\(n\)

输出保留两位小数

\(\mathcal{Solution}\)

设\(f[i]\)表示已经掷到过\(i\)面，还 期望掷多少次骰子使每一面都被掷到

现在掷一次骰子，有两种情况

1. 有\(\frac{i}{n}\)的概率掷到已经掷到过的面，此时仍然还要掷\(f[i]\)次骰子
2. 有\(\frac{n-i}{n}\)的概率掷到没掷到过的面，此后就掷到过\(i+1\)个面了，还需掷\(f[i+1]\)次骰子

需要注意的是，无论是掷到以上哪种情况，都需要掷一次骰子

所以有

\(f[i]=\frac{i}{n}f[i]+\frac{n-i}{n}f[i+1]+1\)

将其化简

\(f[i]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}\)

初值\(f[n]=0\)，答案为\(f[0]\)

应逆向循环

\(\mathcal{Code}\)

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年07月21日 星期日 14时51分18秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
using namespace std;
const int maxn = 1005;
//{{{cin
struct IO{
	template<typename T>
	IO & operator>>(T&res){
		res=0;
		bool flag=false;
		char ch;
		while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')	 flag|=ch=='-';
		while(ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
		if (flag)	 res=~res+1;
		return *this;
	}
}cin;
//}}}
int T,n;
double f[maxn];//f[i] -> 有了i个面，变成拥有n个面的期望
int main()
{
	freopen("p1026.in","r",stdin);
	freopen("p1026.out","w",stdout);
	cin>>T;
	while (T--){
		cin>>n;
		f[n]=0;
		for (int i=n-1;i>=0;--i)	f[i]=f[i+1]+1.0*n/(n-i);
		printf("%.2lf\n",f[0]);
	}
	return 0;
}

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