【专题】概率期望DP

11.22：保持更新状态：主要发一些相关的题目和个人理解

（P.S.如果觉得简单，可以直接看后面的题目）

upd 11.30 更完了

【NO.1】

UVA12230 Crossing Rivers 

一道比较坑的题目,多给了一个没用的条件...其实就是利用线性关系，取一个平均值就OK了。

把最优情况和最差情况算出来，取一个算数平均值算出期望就OK了，应该是最简单的一道题了，关键是要想得到

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 inline int read(){
     char chr=getchar();    int f=,ans=;
     while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
     while(isdigit(chr))  {ans=(ans<<)+(ans<<);ans+=chr-'';chr=getchar();}
     return ans*f;
 }
 void write(int x){
     if(x<) putchar('-'),x=-x;
     if(x>) write(x/);
     putchar(x%+'');
 }
 int n,d,p,i=;
 double ans=;
 int main(){
     while(n=read(),d=read(),n||d){
         ++i;ans=;int k=;
         while(n--){
             int x=read(),y=read(),z=read();
             k+=y;
             ans+=2.0*y/z;
         }ans+=d-k;
         printf("Case %d: %.3lf\n\n",i,ans);
     }
     return ;
 }

---

【NO.2】

SP1026 FAVDICE - Favorite Dice 

其实这是一道赠券收集问题，这个看懂了之后，其实就很简单了

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 inline int read(){
     char chr=getchar();    int f=,ans=;
     while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
     while(isdigit(chr))  {ans=(ans<<)+(ans<<);ans+=chr-'';chr=getchar();}
     return ans*f;
 }
 void write(int x){
     if(x<) putchar('-'),x=-x;
     if(x>) write(x/);
     putchar(x%+'');
 }
 int n;
 int main(){
     n=read();
     while(n--){
         int x=read();
         double ans=;
         for(int i=;i<=x;i++){
             ans+=x*1.0/(x-i+);
         }
         printf("%.2lf\n",ans);
     }
     return ;
 }

---

中间小结：我们发现一个特性，代码很短，然而需要一定脑回路，想通了肯能5min就解决了，否则可能会想的很复杂（比如有一次码一百多行，后来发现可以O（1）时间一行直接输出...）

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 upd:11.26

【NO.3】

KIDS AND PRIZES

P.S.　额...这道题找不到来源，具体是SGU495，但是SGU消失了，Vjudge又不能提交，如果有读者知道怎么提交的话，可以在下面回复一下，谢谢

【题目描述】

n个盒子里装有礼物，m个人随机选择礼物，选完之后空盒子放回
问选中的礼物数的期望。

【思路】

有log(m)的做法（快速幂），在这里先介绍O（m）的做法

令dp[i]表示第i个人去箱子时的得到礼物的概率，那么有方程：

dp[1]=1,dp[i(i>1)]=dp[i-1]*(1-dp[i-1])+dp[i-1]*(dp[i-1]-1.0/n);

关于优化：

对上式进行化简，则有

　dp[i]=dp[i-1]*(1-1.0/n)

不难发现1.0/n是一个常数 然后用数列的知识一顿瞎搞->dp[n]=(1-1.0/n)^m-1;

ans=∑dp[i]=n-n*((n-1)/n)^m

然后快速幂就好了

下面代码是O（m）的

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 inline int read(){
     char chr=getchar();    int f=,ans=;
     while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
     while(isdigit(chr))  {ans=(ans<<)+(ans<<);ans+=chr-'';chr=getchar();}
     return ans*f;
 }
 void write(int x){
     if(x<) putchar('-'),x=-x;
     if(x>) write(x/);
     putchar(x%+'');
 }
 int n,m;
 double dp[],ans;
 int main(){
     n=read(),m=read();
     dp[]=;
     for(int i=;i<=m;i++)
         dp[i]=dp[i-]*(-dp[i-])+dp[i-]*(dp[i-]-1.0/n),ans+=dp[i];
     printf("%.5lf",ans+);
     return ;
 }

 啦啦啦~~

感觉有点写不下去了...难受，关键是找不到一些题目...

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【NO.4】

ZOJ3640 help me escape

题目描述

英语不太好，翻译不来，用机翻吧...这里就不给出了（懒..）

【思路】

记忆化搜索是个好东西，其实用记忆化搜索做这种题有时候更方便呢...

如果i>c[j]           dp[i]+=(int)(p*c[j]*c[j])/n;
如果i<=c[j]      dp[i]+=(dfs(i+c[j])+1)/n;

P.S.注意向下取整！！！

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 inline double read(){
     char chr=getchar();    int f=,ans=;
     while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
     while(isdigit(chr))  {ans=(ans<<)+(ans<<);ans+=chr-'';chr=getchar();}
     return ans*f*1.0;
 }
 void write(int x){
     if(x<) putchar('-'),x=-x;
     if(x>) write(x/);
     putchar(x%+'');
 }
 int n,m;
 double dp[];
 int a[],b[];
 const double t=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
 double dfs(int sum){
     if(dp[sum]>) return dp[sum];
     for(int i=;i<=n;i++){
         if(sum>a[i])
             dp[sum]+=(double)b[i]/n;
         else dp[sum]+=(dfs(sum+a[i])+1.0)/n;
     }
     return dp[sum];
 }
 int main(){
     while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
         memset(dp,,sizeof(dp));
         for(int i=;i<=n;i++)cin>>a[i],b[i]=a[i]*a[i]*t;
         double ans=dfs(m);
         printf("%.3lf\n",ans);
     }
     return ;
 }

---

　　后面的题目会偏难一点噢.

upd:11.29

HYSBZ - 4832 抵制克苏恩

　　好吧，其实也不是很难。。。暴力枚举状态然后转移就好了

前面的题目看懂的话，这道题可以直接上代码了

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 inline int read(){
     char chr=getchar();    int f=,ans=;
     while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
     while(isdigit(chr))  {ans=(ans<<)+(ans<<);ans+=chr-'';chr=getchar();}
     return ans*f;
 }
 void write(int x){
     if(x<) putchar('-'),x=-x;
     if(x>) write(x/);
     putchar(x%+'');
 }
 double f[][][][];
 int T,n,a1,a2,a3;
 double solve(){
     double ans=;
     f[][a1][a2][a3]=;
     for(int i=;i<n;i++)
         for(int a=;a<=;a++)
             for(int b=;b<=;b++)
                 for(int c=;c<=;c++){
                     if(a+b+c>) continue;
                     if(a>)f[i+][a-][b][c]+=(double)f[i][a][b][c]*(double)a/(double)(a+b+c+);
                     if(b>&&a+b+c==)f[i+][a+][b-][c]+=f[i][a][b][c]*(double)b/(double)(a+b+c+);
                     if(b>&&a+b+c<) f[i+][a+][b-][c+]+=f[i][a][b][c]*(double)b/(double)(a+b+c+);
                     if(c>&&a+b+c==) f[i+][a][b+][c-]+=f[i][a][b][c]*(double)c/(double)(a+b+c+);
                     if(c>&&a+b+c<) f[i+][a][b+][c]+=f[i][a][b][c]*(double)c/(double)(a+b+c+);
                     f[i+][a][b][c]+=f[i][a][b][c]/(double)(a+b+c+);
                     ans+=f[i][a][b][c]/(double)(a+b+c+);
                 }printf("%.2lf\n",ans);
 }

 int main(){
     T=read();
     while(T--){memset(f,,sizeof(f));
         n=read(),a1=read(),a2=read(),a3=read();solve();
     }
     return ;
 }

最后一道

tyvj-1864 守卫者的挑战

　　刷表法就好了，有个技巧就是可以先排序一下，然后就能保证所有背包先被处理（因为与顺序无关，上面的“依次”是骗人的）

　　f[i][j][k] 表示第i个挑战，赢了j次，背包容量为k，还是暴力枚举状态枚举

　　具体可以见代码

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 inline int read(){
     char chr=getchar();    int f=,ans=;
     while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
     while(isdigit(chr))  {ans=(ans<<)+(ans<<);ans+=chr-'';chr=getchar();}
     return ans*f;
 }
 void write(int x){
     if(x<) putchar('-'),x=-x;
     if(x>) write(x/);
     putchar(x%+'');
 }
 int n,l,k;
 struct P{double p;int a;}a[];//概率  属性
 double f[][][];
 bool cmp(const P &x,const P &b){return x.a>b.a;}
 int main(){
     n=read(),l=read(),k=read();
     for(int i=;i<=n;i++) cin>>a[i].p,a[i].p/=100.0;
     for(int i=;i<=n;i++) cin>>a[i].a;
     sort(a+,a+n+,cmp);
     f[][][min(,k)]=;
     for(int i=;i<n;i++)
         for(int j=;j<=i;j++)
             for(int k=;k<=n;k++){
                 f[i+][j][k]+=f[i][j][k]*(1.0-a[i+].p);//失败
                 int v=k+a[i+].a;
                 if(v<) continue;v=min(n,v);
                 f[i+][j+][v]+=f[i][j][k]*a[i+].p;//成功
             }
     double ans=;
     for(int i=l;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=n;j++)
             ans+=f[n][i][j];
     printf("%.6lf",ans);
     return ;
 }