【模板】分治 FFT

Link

Solution

有两种解法。

法1:

　直接上分治FFT，也就是CDQ分治+FFT。

　具体做法是先递归左半边，算出左半边答案之后，将左半边贡献到右半边，然后递归右半边。

　分治是一个log的，每次暴力计算贡献是\(\text O(n^2)\)的，考虑用FFT优化计算贡献的过程。总复杂度变成\(\text O(n{log_n}^2)\)。

　需要注意：因为只算左半边对右半边的贡献，所以f数组右半边应置为0。

法2：

　设 \(F(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}f[i]x^i\)，\(G(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}g[i]x^i\)，并补充\(g[0]=0\)，有
\[
\begin{align}
F(x)*G(x)&=\sum\limits_{i=0}^\infty \sum\limits_{j=0}^\infty f[i]g[j]\cdot x^{i+j}\\
&=\sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{i=0}^k f[i]g[k-i]\cdot x^k
&=\sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{i=0}^{k-1} f[i]g[k-i]\cdot x^k
\end{align}
\]
　当k=0是有\(\sum\limits_{i=0}^{k-1} f[i]g[k-i]\cdot x^k=0\)

　当k>0时有 \(\sum\limits_{i=0}^{k-1} f[i]g[k-i]\cdot x^k=f[k]\cdot x^k\)

　所以\(F(x)\)与\(F(x)*G(x)\)只差了一个常数项\(f[0]\)

即　\(F(x)=F(x)*G(x)+f[0]\) \(\Rightarrow\) \(F(x)=\frac{f[0]}{1-G(x)}=\frac{1}{1-G(x)}\)

　多项式求逆即可。

　这次重写发现自己NTT又有几个地方记不太清了：

　　1.数组范围应该是2N向上取2的次幂，因为两个长度是N的多项式相乘有2N项

　　2.for循环模拟递归过程，要注意是每一层操作相同且独立，所以不要把算单位根放在枚举每段起始位置p的那一层for了，应该放到最里层。

　　3.根据实际情况（mod x的多少次方）判断长度。

　　4.辅助数组用完记得清空。