基于DP+位运算的RMQ算法

来源：http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/38405063

RMQ算法，是一个快速求区间最值的离线算法，预处理时间复杂度O（n*log(n)），查询O(1)，所以是一个很快速的算法，当然这个问题用线段树同样能够解决。

问题：给出n个数ai，让你快速查询某个区间的的最值。

算法分类：DP+位运算

算法分析：这个算法就是基于DP和位运算符，我们用dp【i 】【j】表示从第 i 位开始，到第 i + 2^j -1 位的最大值或者最小值。

那么我求dp【i】【j】的时候可以把它分成两部分，第一部分从 i 到 i + 2 ^( j-1 ) - 1 ，第二部分从 i + 2 ^( j-1 )  到 i + 2^j - 1 次方，其实我们知道二进制数后一个是前一个的二倍，那么可以把 i ---  i + 2^j  这个区间 通过2^(j-1) 分成相等的两部分， 那么转移方程很容易就写出来了。

转移方程： mm [ i ] [ j ] = max ( mm [ i ] [ j - 1 ] , mm [ i + ( 1 << ( j - 1 ) ) ] [ j - 1 ] );

代码：

void rmq_isit(bool ok)
{
    for(int i=;i<=n;i++)
        mm[i][]=mi[i][]=a[i];
    for(int j=;(<<j)<=n;j++)
    {
        for(int i=;i+(<<j)-<=n;i++)
        {
            if(ok)
                mm[i][j]=max(mm[i][j-],mm[i+(<<(j-))][j-]);
            else
                mi[i][j]=min(mi[i][j-],mi[i+(<<(j-))][j-]);
        }  

    }
}  

那么查询的时候对于任意一个区间 l -- r ，我们同样可以得到区间差值 len = （r - l + 1）。

那么我们这一用小于2^k<=len，的 k 把区间分成可以交叉的两部分l 到 l+ (1<<k) -1, 到 r -(1<<k)+1 到 r 的两部分，很easy的求解了。

查询代码：

int rmq(int l,int r)
{
    int k=;
    while((<<(k+))<=r-l+)
        k++;
    //printf("%d %d %d %d\n",l,l+(1<<k),r-(1<<k)+1,r-(1<<k)+1+(1<<k));
    int ans1=max(mm[l][k],mm[r-(<<k)+][k]);
    int ans2=min(mi[l][k],mi[r-(<<k)+][k]);
    return ans1-ans2;
}  

例题： POJ Balanced Lineup

ac代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn =  ;
int a[maxn],mx[maxn][],mn[maxn][];
int n,m;

int main(){
    ios::sync_with_stdio();//c++ 关同步 ac
    cin.tie();
    cout.tie();
    cin>>n>>m;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        mx[i][]=mn[i][]=a[i];
    }
    for(int j=; (<<j)<=n; j++)
    {
        for(int i=;i+(<<j)-<=n;i++)
        {
            mx[i][j]=max(mx[i][j-],mx[i+(<<(j-))][j-]);
            mn[i][j]=min(mn[i][j-],mn[i+(<<(j-))][j-]);
        }
    }
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        int le,ri;
        cin>>le>>ri;
        int len = ri-le+;
        int k=;
        while((<<(k+))<=len)
            k++;
        int ans1=max(mx[le][k],mx[ri-(<<k)+][k]);
        int ans2=min(mn[le][k],mn[ri-(<<k)+][k]);
        cout<<ans1-ans2<<endl;
    }

    return ;
}