Poisson回归模型

Poisson回归模型也是用来分析列联表和分类数据的一种方法，它实际上也是对数线性模型的一种，不同点是对数线性模型假定频数分布为多项式分布，而泊松回归模型假定频数分布为泊松分布。

首先我们来认识一下泊松分布：

一、泊松分布的概念和实际意义：

我们知道二项分布是离散型概率分布中最重要的一种，而二项分布的极限形式就是泊松分布(P很小,n很大)，也是非常重要的一种离 散型概率分布，现实世界中许多偶然现象都可以用泊松分布来描述。

泊松分布认为：如果某些现象的发生概率p很小，而样本例数n又很大，则二项分布逼近泊松分布。因此泊松分布是由二项分布推导
出的，具体推导过程如下：

因此泊松分布的概率函数就为

如果一个随机变量x取值为k的概率符合上述公式，则称x服从参数为λ的泊松分布

我们结合二项分布来解释一下推导过程：

如果做一件事情成功的概率是p的话，那么独立尝试做这件事情n次，成功次数的分布就符合二项分布。在做的n次试验中，成功次数 有可能是0次，1次，2次...n次，每一次试验成功的概率是p，不成功的概率是1-p，成功k次的试验可以任意分布在总共的n次试验中，把它们相乘就是恰好成功k次的概率，也就是上面的

那么我们接着考虑：在一个特定时间内，某件事会在任意时刻随机发生。当我们把 这个时间段分割成非常小的n个时间片(n—+∞)并做如下假定：

1.每个时间片内事件发生是独立的，和前后是否发生无关，也就相当于是独立试验。

2.由于n—+∞，那么在1/n这么小的一个时间片内，某个事件发生两次或更多是不可能的。

3.每个时间片内该事件发生的概率p与时间片个数n的乘积n*p=λ，为一常数，这个常数表示了该事件在这个时间段内发生的频度，或称为总体均值、总体发生数等，也就是上面的令p=λ/n

结合以上解释，我们可以了解由二项分布推导出泊松分布的思想，如果用概率论的语言来解释泊松分布，可以描述为：如果某事件
的总体发生次数为λ，那么在n个独立试验中，该事件发生k次的概率分布。

泊松分布可以看做是二项分布的一种特例，对于n很大而p很小的试验，使用二项分布计算十分麻烦，此时可简化为泊松分布进行计算，并且泊松分布非常适合于描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布，它将发生次数这种原本离散的数据，和时间结合起来，从而形成了一种类似连续性的概率分布，而二项分布主要是研究n个离散事件的概率分布。

二、泊松分布的条件

1.n很大而p很小
2.事件的发生是相互独立的，每个事件发生的概率相等
3.事件是二分类数据

实际上上述2,3点也是二项分布的条件

三、泊松分布的性质

1.泊松分布的总体均值λ和方差相等
2.当λ较小时，泊松分布呈偏态分布，随着λ增大，泊松分布渐近正态分布，可做正态分布处理，注意这种渐近速度是很快的。
3.泊松分布具有可加性

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介绍完泊松分布，我们来讲泊松回归模型

设有一个解释变量x，可以写出如下回归模型
g(μ)=α+β₀+β₁x
这个g就是连接函数，如果取其对数，则为
ln(μ)=α+β₀+β₁x
这个模型的结构和回归模型非常相似，如果因变量y服从泊松分布，那么这个模型就称为泊松回归模型。
泊松回归模型就是描述服从泊松分布的因变量y的均值μ与各协变量x1...xm关系的回归模型。
如果各单元格内发生事件的观察基数不同，需要转化为相同基数再进行分析
ln(μ/n)=α+β₀+β₁x
n表示相应单元格的观测单位数
将上式变形后得
ln(μ)=ln(n)+α+β₀+β₁x
这个ln(n)称为偏移量，用于去除观察单位不相等的影响。

泊松回归模型的参数估计也使用迭代重复加权最小二乘法IRLS或极大似然估计。