Karatsuba 快速乘积算法是具有独特合并过程(combine/merge)的分治算法(Karatsuba 是俄罗斯人)。此算法主要是对两个整数进行相乘,并不适用于低位数(如 int 的 32 位的整数)。

1. 大整数乘法的实现

所谓的大整数,就是超出编程语言关于 integral 类型的最大值的那些位数很大的数,也即如果用这些类型进行存储的话,会造成数值溢出(arithmetic overflow),此时可以使用 vector<int> 逐位存储这些数。

执行两数的乘法的方法就是我们小学学乘法时所采用的方式,normalize 负责处理每一位上的进位情况。

void normalize(vector<int>& c){
for (int i = 0; i < c.size()-1; ++i){
c[i+1] += c[i]/10;
c[i] %= 10;
}
} vector<int> multiply(const vector<int>& a, const vector<int>& b){
vector<int> c(a.size()+b.size(), 0);
for (int i = 0; i < a.size(); ++i){
for (int j = 0; j < b.size(); ++j){
c[i+j] += a[i]*b[j];
}
}
normalize(c);
return c;
}

2. Karatsuba 快速算法

Karatsuba 快速乘积算法首先将两个整数分别一分为二。例如,a 和 b 各位 256 位的整数,那么使用 a1 和 b1 保存前 128 为,而 a0 和 b0 中保存后 128 位。分割后,a 和 b 可写成如下的形式。

{a=a1⋅10128+a0b=b1⋅10128+b0

所以将 a×b 分割成四项式有如下等式:

a×b==(a1×10128+a0)(b110128+b0)a1b1z210256+(a0b1+a1b0)z110128+a0b0z0

首先根据 z0=a0⋅b0,z2=a1⋅b1 计算 z0,z1,然后利用以下等式:

(a0+a1)⋅(b0+b1)=z0+z1+z2

因此:

  • z2 = a1 * b1
  • z0 = a0 * b0
  • z1 = (a0 + b0)(a1 + b1)-z2-z0

从大整数乘法的实现到 Karatsuba 快速算法的更多相关文章

  1. JAVA版拆分大整数为2幂的和算法

    import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class StrTest { public static void main(St ...

  2. 大整数分解质因数(Pollard rho算法)

    #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <stdio.h> ...

  3. 大整数算法[11] Karatsuba乘法

    ★ 引子         前面两篇介绍了 Comba 乘法,最后提到当输入的规模很大时,所需的计算时间会急剧增长,因为 Comba 乘法的时间复杂度仍然是 O(n^2).想要打破乘法中 O(n^2) ...

  4. [转]大整数算法[11] Karatsuba乘法

    ★ 引子         前面两篇介绍了 Comba 乘法,最后提到当输入的规模很大时,所需的计算时间会急剧增长,因为 Comba 乘法的时间复杂度仍然是 O(n^2).想要打破乘法中 O(n^2) ...

  5. 大整数相乘问题总结以及Java实现

    最近在跟coursera上斯坦福大学的算法专项课,其中开篇提到了两个整数相乘的问题,其中最简单的方法就是模拟我们小学的整数乘法,可想而知这不是比较好的算法,这门课可以说非常棒,带领我们不断探索更优的算 ...

  6. 自上而下,逐步揭开PHP解析大整数的面纱

    遇到的问题 最近遇到一个PHP大整数的问题,问题代码是这样的 $shopId = 17978812896666957068; var_dump($shopId); 上面的代码输出,会把$shopId转 ...

  7. 【BZOJ】3751: [NOIP2014]解方程【秦九韶公式】【大整数取模技巧】

    3751: [NOIP2014]解方程 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 4856  Solved: 983[Submit][Status ...

  8. Miller-Rabin 素性测试 与 Pollard Rho 大整数分解

    \(\\\) Miller-Rabin 素性测试 考虑如何检验一个数字是否为素数. 经典的试除法复杂度 \(O(\sqrt N)\) 适用于询问 \(N\le 10^{16}\) 的时候. 如果我们要 ...

  9. 基于Java的大整数运算的实现(加法,减法,乘法)学习笔记

    大整数,顾名思义就是特别大的整数. 一台64位的机器最大能表示的数字是2的64次方减一: 18446744073709551615 java语言中所能表示的整数(int)最小为-2147483648 ...

随机推荐

  1. AJAX 前后端交互 验证信息是否正确

    1.前段: function checkPtCode(obj){ $.ajax({ type: "post", url: "xxxxxxx", data: {& ...

  2. hibernate : object references an unsaved transient instance 问题

    save顺序问题---比如学生表和班级表..学生表里有班级ID的外键.一对多的关系. 你save的时候应该先save班级,再save学生..否则学生的外键没有对应的值,引发异常

  3. xwiki操作手册

    Xwiki官网:http://www.xwikichina.com/xwiki/bin/view/Main/中文官网. 1   用户管理 1.1    添加新用户 用户管理需要管理员权限,管理员登陆后 ...

  4. DataGirdView 常用操作

    1.将数据源的某列添加到已有DataGirdView的列 例如:将文件夹下所有文件名添加到DataGirdView 的文件名一列,图片如下: 首先在datagridview把文件名列的DATAPROP ...

  5. ORACLE遞歸查詢

    ORACLE支持常規的用CTE遞歸的方式實現遞歸查詢,也有自己特有的查詢方式,ORACLE文檔中叫層次數據查詢. 這裏通過一個簡單的样例來介紹這兩種查詢方式. 數據準備: CREATE TABLE T ...

  6. SelectSort

    /**简单选择排序*/ #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int a[]={5,2,1,3,4 ...

  7. 关于mysql数据库在输入password后,滴的一声直接退出界面的解决的方法(具体办法)

    前一阵子.因为敲代码要用到数据库,便在本子上下载了一个,却出现非常多小问题(自己的台式机却没有该问题,可能是本人的本子太渣了吧),纠结了好一阵,回头想想.发现问题,分析问题,解决这个问题,不就是我们的 ...

  8. 调用google翻译

    1. [代码]maven依赖     ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 <dependency>     <groupId>org.a ...

  9. POJ 3174 暴力枚举

    思路: 暴力枚举三个点 判一判 搞定 (x1*y1=x2*y2) x1.y1.x2.y2为他们两两的差 //By SiriusRen #include <cstdio> using nam ...

  10. Kinect 开发 —— 骨骼追踪进阶(上)

    Kinect传感器核心只是发射红外线,并探测红外光反射,从而可以计算出视场范围内每一个像素的深度值.从深度数据中最先提取出来的是物体主体和形状,以及每一个像素点的游戏者索引信息.然后用这些形状信息来匹 ...