Luogu P5339 [TJOI2019]唱、跳、rap和篮球

题目

设\(f_i\)表示从\((a-4i,b-4i,c-4i,d-4i)\)中选\(n-4i\)个排队的方案数。

那么我们可以容斥，答案为\(\sum\limits_{i=0}^{lim}(-1)^i{n-3i\choose i}f_i\)。

考虑一下这个\(f\)，它就是四个指数型生成函数卷起来\((\sum\limits_{i=0}^a\frac{x^i}{i!})(\sum\limits_{i=0}^b\frac{x^i}{i!})(\sum\limits_{i=0}^c\frac{x^i}{i!})(\sum\limits_{i=0}^d\frac{x^i}{i!})\)。

\(f_i\)就是\(x^i\)的系数乘上\((n-4i)!\)。

我们考虑分成两半，前面是\((\sum\limits_{i=0}^a\frac{x^i}{i!})(\sum\limits_{i=0}^b\frac{x^i}{i!})\)，后面是\((\sum\limits_{i=0}^c\frac{x^i}{i!})(\sum\limits_{i=0}^d\frac{x^i}{i!})\)。

每次修改相当于\(a,b,c,d\)都减一，这样子修改是\(O(n)\)的。求某一位的值可以直接暴力卷，也是\(O(n)\)的。

所以就做到了\(O(n^2)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1007,P=998244353;
int n,a,b,c,d,inv[N],fac[N],ifac[N],f[N],g[N];
void inc(int &a,int b){a+=b,a=a>=P? a-P:a;}
void dec(int &a,int b){a-=b,a=a<0? a+P:a;}
int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%P;}
int C(int n,int m){return mul(mul(fac[n],ifac[m]),ifac[n-m]);}
void mns(int n,int m,int *f)
{
    for(int i=0;i<=n;++i) dec(f[i+m],mul(ifac[i],ifac[m]));
    for(int i=0;i<m;++i) dec(f[i+n],mul(ifac[i],ifac[n]));
}
int cal(int n)
{
    int s=0;
    for(int i=0;i<=n;++i) inc(s,mul(f[i],g[n-i]));
    return mul(s,fac[n]);
}
int main()
{
    cin>>n>>a>>b>>c>>d;int i,j,ans=0,x;
    for(inv[1]=1,i=2;i<N;++i) inv[i]=mul(P-P/i,inv[P%i]);
    for(fac[0]=ifac[0]=i=1;i<N;++i) fac[i]=mul(fac[i-1],i),ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
    for(i=0;i<=a;++i) for(j=0;j<=b;++j) inc(f[i+j],mul(ifac[i],ifac[j]));
    for(i=0;i<=c;++i) for(j=0;j<=d;++j) inc(g[i+j],mul(ifac[i],ifac[j]));
    ans=cal(n);
    for(i=1;i*4<=n&&a&&b&&c&&d;++i,--a,--b,--c,--d) mns(a,b,f),mns(c,d,g),x=mul(cal(n-i*4),C(n-i*3,i)),i&1? dec(ans,x):inc(ans,x);
    printf("%d",ans);
}