set 容器详解 附大根堆题解

声明

本文中题解部分内容大部分转载自 @sonnety 的这篇博客中，本文为为方便复习而写的结论类文章，读者可自行跳转至原文处阅读。

---

PART 1 set

什么是 set

——来源cppreference

简言之，它就是一种存进去就可以自动按升序排列的特殊容器，通常的 set 还具有自动去重的功能。

定义方式：

std::set<int>s;
'set'+<存储数据类型>+容器名

注意的是，这里存储数据类型不仅包含常用的int，long long，double等数值类，也可以是char，string这些字符类的，排序标准为字典序（强者处处是惊喜）。

怎么使用 set

首先，我们要了解几个 set 的常用函数：

指针类
s.begin()//指向 s 的起始
s.end()//指向 s 的末尾
容量类
s.empty()//检查容器是否为空
s.size()//返回元素数（返回值类型为 unsigned int ）
修改类
s.insert(w)//向容器中插入 w 这个元素
s.erase(w)//在容器中删除 w 这个元素
s.clear()//将 s 清空
swap(s1,s2)//交换 s1 与 s2 两个容器内的元素
查找类
s.find(w)//在容器中查找 w 这个元素所在的**地址**
         //若不存在该元素，则返回 s.end()
s.lower_bound(w)//在容器中寻找第一个不小于 w 的元素**地址**
                //若不存在则返回 s.end()

我们可以观察到，很多 set 的返回值类型都是特殊的，因此还存在一个迭代器set<int>::iterator，它是一个指向 set<int> 中元素的指针，可以通过迭代器访问 set<int> 中的元素，并能够进行迭代器运算，如自增等操作。

我们在调用 s 中的值的时候，可以如下操作：

输出 s 中的所有值
set<int>::iterator it;
for(it=s.begin();it!=s.end();it++)
    cout<<*it<<' ';// *it 是获取当前迭代器指向的元素的值

自 c++11 引入了类型 auto 后，我们可以更加简便地完成上面的操作。

for(auto it:s)
	cout<<it<<' ';//这里 auto 的类型等同于我们定义 s 时的数据类型，也就是 int

set 和 multiset

multiset 在 cppreference 中定义如下：

简言之， multiset 的特性有：

1. 可以保留重复的元素，也就是没有自动去重的性质。
2. multiset 支持插入、删除和查找操作的平均时间复杂度均为 \(O(log\,n)\)，而 set 只支持插入和查找操作的平均时间复杂度为 \(O(log\,n)\)，删除操作的平均时间复杂度为 \(O(1)\)。
3. multiset 在删除时只会删除元素值相同的元素中的一个，而不是全部删除或删除一些。

通常情况下，我们多使用 set ，因为它在进行查找等操作时更快；而只有在需要保留重复元素的少数情况下，我们使用 multiset ，下题就是一个例子。

PART 2 大根堆

题面

思路

常规办法为线段树合并，但太长了不想写 但总感觉有更优的做法，所以就有了下面基于 set 优化的 dfs 做法。

我们可以通过 dp 引入，固定一点作为根结点，用f[u][i]表示以 \(u\) 为树根的子树里结点权值小于 \(i\) 的个数，其中 \(i\le v_u\)；用 \(size_u\) 表示以 \(u\) 为根的树的大小。

那么很容易能想到状态转移方程为：

\[f[u][i]=\sum_{size_u}f[u][i]，i\le v_u
\]

\[f[u][i]=max(\sum_{size_u}f[u][i],\sum_{size_u}f[u][i+1]-1),i\ge v_u
\]

那么如何存储？ multiset ！

set 自带的查找功能可以很方便的判断条件是否成立， \(size\) 函数也直接提供了上述 \(size\) 数组。

使用 dfs 进行遍历，由子结点逐个回溯至根节点，最后根节点的 \(size\) ，即为答案。

代码中加入了部分注释，供参考。

code:

#include<bits/stdc++.h>
inline int qr()
{
	char ch=getchar();int x=0,f=1;
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
	return x*f;
}
#define qr qr()
using namespace std;
const int Ratio=0;
const int N=500005;
int n,cnt;
int va[N],hh[N],to[N],ne[N];
multiset<int>f[N];
namespace Wisadel
{
	void Wadd(int u,int v)
	{//加边
		to[++cnt]=v;
		ne[cnt]=hh[u];
		hh[u]=cnt;
	}
	void Wdfs(int u,int fa)
	{
		for(int i=hh[u];i!=-1;i=ne[i])
		{//遍历
			int t=to[i];
			if(t==fa)
				continue;
			Wdfs(t,u);
			if(f[u].size()<f[t].size())
				swap(f[u],f[t]);
			//大根堆，所以父节点的子树和应大于子节点
			for(auto j:f[t])
				f[u].insert(j);
			//类似线段树合并 将两棵树并到一起
			f[t].clear();
			//擦去被合并了的树
		}
		if(f[u].size()>0&&f[u].lower_bound(va[u])!=f[u].end())
			f[u].erase(f[u].lower_bound(va[u]));
		//因为是大根堆，所以子应小于父
		//那么若存在比父大的元素，这个堆便不成立
		//擦去它
		f[u].insert(va[u]);
		//把当前结点（根节点）插入
	}
	short main()
	{
		memset(hh,-1,sizeof hh);
		n=qr;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			va[i]=qr;int b=qr;
			if(i!=1)
				Wadd(i,b),Wadd(b,i);
		}
		Wdfs(1,-1);
		printf("%d\n",(int)f[1].size());
		//我们所用dfs的遍历形式，保证了会先将尽头的子树遍历尽
		//所以每个结点遍历后的结果，是包含了它以及它子树的最优解
		//所以经过交换，最后答案会体现在f[1]容器内元素的个数
		return Ratio;
	}
}
int main(){return Wisadel::main();}

---

完结撒花~