noi.acNOIP模拟赛5-count

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题意简述

你有一个n+1个数的序列，都是1~n，其中只有一个有重复，求每个长度的本质不同的子序列个数。\(mod 1e9+7\)。

sol

说起来也很简单，设相同的数出现的位置为\(l\)和\(r\)。那么除了去掉\(r\)之后\(n\)个数的贡献，还有算上\(r\)的贡献，然后就可以了。原本\(n\)个的贡献是\(\binom{n}{i}\)，加上\(r\)的贡献的话要满足在\([l,r-1]\)之间至少要选一个数，然后还要选\(r\)，那么考虑将原序列(去除\(r\))分成三段，\([1,l-1],[l,r-1],[r+1,n+1]\)，可以枚举长度，发现是一个卷积，于是可以愉快的NTT辣，然后模数是\(1e9+7\)?

md不管蒯一个三模数NTT暴力艹过去。总复杂度 $ O(nlogn) $ 。其实好像有 $ O(n) $ 做法，但我懒得想。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define gt getchar()
#define ll long long
#define maxn 400005
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define Set(a) memset(a,0,sizeof a)
using std::swap;
using std::reverse;
inline int in()
{
	int k=0;char ch=gt;
	while(ch<'-')ch=gt;
	while(ch>'-')k=k*10+ch-'0',ch=gt;
	return k;
}
int pr[]={469762049,998244353,1004535809};
const int md=1e9+7,YL=md;
inline ll ksm(ll a,ll b,ll p)
{
	ll r=1;a%=p;
	while(b){if(b&1)r=r*a%p;a=a*a%p,b>>=1;}
	return r;
}
int R[maxn];
struct FFT
{
	int G,P,A[maxn];
	void NTT(int* a,int n,int f)
		{
			for (int i=0;i<n;i++)if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
			for (int i=1;i<n;i<<=1)
			{
				int gn=ksm(G,(P-1)/(i<<1),P);
				for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
				{
					int g=1,x,y;
					for (int k=0;k<i;k++,g=1ll*g*gn%P)
					{
						x=a[j+k],y=1ll*g*a[j+k+i]%P;
						a[j+k]=(x+y)%P,a[j+k+i]=(x+P-y)%P;
					}
				}
			}
			if(f==1)return;
			int nv=ksm(n,P-2,P);reverse(a+1,a+n);
			for(int i=0;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*nv%P;
		}
}fft[3];
int F[maxn],G[maxn],B[maxn],deg1,deg2,deg;
ll ans[maxn];
ll inv(ll n,ll p){return ksm(n % p,p - 2,p);}
ll mul(ll a,ll b,ll p)
{
	ll re=0;
	for(;b;b>>=1,a=(a+a)%p)
		if(b&1)re=(re+a)%p;
	return re;
}
void CRT()
{
	deg=deg1+deg2;
	ll a,b,c,t,k,M=1ll*pr[0]*pr[1];
	ll inv1=inv(pr[1],pr[0]),inv0=inv(pr[0],pr[1]),inv3=inv(M%pr[2],pr[2]);
	for(int i=0;i<=deg;i++)
	{
		a=fft[0].A[i],b=fft[1].A[i],c=fft[2].A[i];
		t=(mul(a*pr[1]%M,inv1,M)+mul(b*pr[0]%M,inv0,M))%M;
		k=((c-t%pr[2])%pr[2]+pr[2])%pr[2]*inv3%pr[2];
		ans[i]=((k%md)*(M%md)%md+t%md)%md;
	}
}
void pre()
{
	int n=1,L=0;
	while(n<=(deg1+deg2))n<<=1,L++;
	for (int i=1;i<n;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
	for (int u=0;u<=2;u++)
	{
		fft[u].G=3;fft[u].P=pr[u];
		for(int i=0;i<=deg1;i++)fft[u].A[i]=F[i];
		for(int i=0;i<=deg2;i++)B[i]=G[i];
		for(int i=deg2+1;i<n;i++)B[i]=0;
		fft[u].NTT(fft[u].A,n,1);fft[u].NTT(B,n,1);
		for(int i=0;i<n;i++)fft[u].A[i]=1ll*fft[u].A[i]*B[i]%pr[u];
		fft[u].NTT(fft[u].A,n,-1);
	}
}
void get_mul(int *a,int *b,int *c,int n,int m)
{
	deg1=n;deg2=m;
	for(int i=0;i<=deg1;++i)F[i]=a[i];
	for(int i=0;i<=deg2;++i)G[i]=b[i];
	pre();CRT();
	for(int i=0;i<=deg;++i)c[i]=ans[i];
}
const int N=1e6+7;
inline int ksm(int a,int k){int r=1;while(k){if(k&1)r=1ll*a*r%YL;a=1ll*a*a%YL,k>>=1;}return r;}
int fac[N],fnv[N],ma[N],as[N];
inline int C(int x,int y){return y>x?0:1ll*fac[x]*fnv[y]%YL*fnv[x-y]%YL;}
inline int MO(const int &a){return a>=YL?a-YL:a;}
int a[N],b[N],c[N];
int main()
{
//	File("conut");
	int n=in();fac[0]=fnv[0]=1;
	for(int i=1;i<=n+1;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%YL;
	fnv[n+1]=ksm(fac[n+1],YL-2);
	for(int i=n;i;--i)fnv[i]=1ll*fnv[i+1]*(i+1)%YL;
	int l=1,r=n+1;
	for(int i=1,u;i<=n+1;++i)
	{
		u=in();
		if(ma[u])l=ma[u],r=i;
		ma[u]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)as[i]=C(n,i);
	int l1=l-1,l2=r-l,l3=n-r+1;
	for(int i=0;i<=l1;++i)a[i]=C(l1,i);
	for(int i=1;i<=l2;++i)b[i]=C(l2,i);
	get_mul(a,b,b,l1,l2);
	Set(a),Set(ans),Set(F),Set(G),Set(fft);
	for(int i=0;i<=l3;++i)a[i]=C(l3,i);
	get_mul(a,b,b,l3,l1+l2);
	for(int i=1;i<=n;++i)as[i+1]=MO(as[i+1]+b[i]);
	for(int i=1;i<=n+1;++i)printf("%d\n",as[i]);
	return 0;
}