P3170-[CQOI2015]标识设计【插头dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3170

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题目大意

给出\(n*m\)的网格上有一些障碍，要求用三个\(L\)形（高宽随意，不能退化成线段/点）覆盖格子且\(L\)形之间不能重叠。

求覆盖方案（每个\(L\)形相同）

\(2\leq n,m\leq 30\)

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解题思路

一道比模板要简单的插头\(dp\)？（当然我依旧不会）

先是考虑插头的状态，每个\(L\)形的话，一个还没有涂完的\(L\)形可能是右插头或者下插头，因为只有三个所以最多只会有\(3\)个下插头，这样的状态数是\(C_m^3\)的，在\(5000\)以内。

把这些状态压缩起来，然后设\(f_{x,y,s,k,0/1}\)表示现在\(dp\)到格子\((x,y)\)，目前下插头状态为\(s\)，已经插入了\(k\)个\(L\)形（作为下插头），目前有没有右插头。

转移的话就很简单了，如果下一个格子有障碍那它上面就不能有插头，如果这个格子上面有插头就分为结束这个下插头变为一个右插头或者不结束。

如果这个格子有右插头那么就不能有上插头。

没有这些限制就能够开一个下插头。

需要注意到行尾的时候可能会还有右插头，在最右边加一列障碍就好了。

时间复杂度是\(O(nmC_{m}^3)\)的

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=32,M=5100;
ll n,m,cnt,f[N][M][4][2];
ll id[N][N][N],pi[M],pj[M],pk[M];
bool v[N][N];char s[N];
void init(){
	for(ll i=0;i<=m;i++)
		for(ll j=i?(i+1):0;j<=m;j++)
			for(ll k=j?(j+1):0;k<=m;k++){
				id[i][j][k]=++cnt;
				pi[cnt]=i;pj[cnt]=j;pk[cnt]=k;
			}
	ll p[3];
	for(ll i=0;i<=m;i++)
		for(ll j=0;j<=m;j++)
			for(ll k=0;k<=m;k++){
				p[0]=i;p[1]=j;p[2]=k;sort(p,p+3);
				id[i][j][k]=id[p[0]][p[1]][p[2]];
			}
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		scanf("%s",s+1);
		for(ll j=1;j<=m;j++)
			if(s[j]=='#')v[i][j]=1;
	}
	m++;
	for(ll i=1;i<=n;i++)v[i][m]=1;
	ll g=0;f[0][1][0][0]=1;init();
	for(ll p=1;p<=n*m;p++){
		ll x=(p-1)/m+1,y=(p-1)%m+1;
		g^=1;memset(f[g],0,sizeof(f[g]));
		for(ll s=1;s<=cnt;s++){
			ll a=pi[s],b=pj[s],c=pk[s];
			for(ll k=0;k<=3;k++){
				if(f[!g][s][k][0]){
					if(!v[x][y]){
						f[g][s][k][0]+=f[!g][s][k][0];
						if(y==a)f[g][id[0][b][c]][k][1]+=f[!g][s][k][0];
						else if(y==b)f[g][id[a][0][c]][k][1]+=f[!g][s][k][0];
						else if(y==c)f[g][id[a][b][0]][k][1]+=f[!g][s][k][0];
						else if(k<3) f[g][id[y][b][c]][k+1][0]+=f[!g][s][k][0];
					}
					else if(y!=a&&y!=b&&y!=c)
						f[g][s][k][0]+=f[!g][s][k][0];
				}
				if(f[!g][s][k][1]&&!v[x][y]&&y!=a&&y!=b&&y!=c){
					f[g][s][k][1]+=f[!g][s][k][1];
					f[g][s][k][0]+=f[!g][s][k][1];
				}
			}
		}
	}
	printf("%lld\n",f[g][1][3][0]);
	return 0;
}