[HZOI] 山海经 题解

0.题目大意

给出一个序列，每次查询一个区间的最大子段和的端点和值。序列长度 \(n \le 10^{5}\) 。

1.思路

显然应该使用线段树。题目要求每次求一个区间的最大子段和，那么在线段树节点中应该维护这个节点的最大子段和。然而，只维护最大子段和是无法从子节点合并出父节点的。

考虑一个节点，它的最大子段和可能有以下几个来源：

|_____________________________|               <-节点
   |_________|                                               <-最大子段和
|_______________ |_____________|               <-左右子节点

|_____________________________|               <-节点
                   |_________|                  <-最大子段和
|_______________ |_____________|               <-左右子节点

|_____________________________|               <-节点
        |_________________|                            <-最大子段和
|_______________ |_____________|               <-左右子节点

情况1、2比较容易处理（直接照搬子节点的最大子段和），下面主要考虑情况3（最大子段和跨过中点）。

注意到可以把情况3拆分成这样：

|_____________________________|               <-节点
    |__________| |_____|                            <-最大子段和
|______________| |_____________|               <-左右子节点

即拆分成左子节点的后缀和右子节点的前缀，所以考虑维护每个节点的 最大前缀和 与 最大后缀和 ，情况3就可以表示为左子节点的最大后缀和和右子节点的最大前缀和的并，然后就可以愉快地合并了。

解决了如何合并的问题，剩下的几乎就是模板了

2.坑点与吐槽

1. 题目要求按照字典序输出，这莫名其妙地增加了许多难度
2. 需要输出端点，这莫名其妙地增加了许多要维护的变量，又莫名其妙地增加了许多难度
3. 综上所述，出题人是一个大毒瘤，建议枪毙

3.Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100000
#define INF 0x3fffffff
struct answ{
    int i,j,k;
    answ(){i=j=k=0;}
    answ(int _i,int _j,int _k){i=_i;j=_j;k=_k;}
};
struct segment_tree{
    int lp,rp;
    segment_tree *ls,*rs;
    int sum,max_qz_sum,max_qz_sum_rp,max_hz_sum,max_hz_sum_lp,max_sum,max_sum_lp,max_sum_rp;
    segment_tree(int a[],int l,int r){
        lp=l;
        rp=r;
        if(l==r){
            ls=rs=NULL;
            sum=max_qz_sum=max_hz_sum=max_sum=a[l];
            max_qz_sum_rp=max_hz_sum_lp=max_sum_lp=max_sum_rp=l;
        }else{
            int mid=(l+r)/2;
            ls=new segment_tree(a,l,mid);
            rs=new segment_tree(a,mid+1,r);
            sum=ls->sum+rs->sum;
            if(ls->max_qz_sum >= ls->sum+rs->max_qz_sum){//情况1
                max_qz_sum=ls->max_qz_sum;
                max_qz_sum_rp=ls->max_qz_sum_rp;
            }else{
                max_qz_sum=ls->sum+rs->max_qz_sum;
                max_qz_sum_rp=rs->max_qz_sum_rp;
            }
            if(rs->max_hz_sum >= rs->sum+ls->max_hz_sum){//情况2
                max_hz_sum=rs->max_hz_sum;
                max_hz_sum_lp=rs->max_hz_sum_lp;
            }else{
                max_hz_sum=rs->sum+ls->max_hz_sum;
                max_hz_sum_lp=ls->max_hz_sum_lp;
            }
            if(ls->max_sum >= rs->max_sum){//情况3
                max_sum=ls->max_sum;
                max_sum_lp=ls->max_sum_lp;
                max_sum_rp=ls->max_sum_rp;
            }else{
                max_sum=rs->max_sum;
                max_sum_lp=rs->max_sum_lp;
                max_sum_rp=rs->max_sum_rp;
            }
            if(max_sum<ls->max_hz_sum+rs->max_qz_sum){
                max_sum=ls->max_hz_sum+rs->max_qz_sum;
                max_sum_lp=ls->max_hz_sum_lp;
                max_sum_rp=rs->max_qz_sum_rp;
            }else if(max_sum==ls->max_hz_sum+rs->max_qz_sum){
                if(max_sum_lp>ls->max_hz_sum_lp){
                    max_sum=ls->max_hz_sum+rs->max_qz_sum;
                    max_sum_lp=ls->max_hz_sum_lp;
                    max_sum_rp=rs->max_qz_sum_rp;
                }else if(max_sum_lp==ls->max_hz_sum_lp){
                    if(max_sum_rp>rs->max_qz_sum_rp){
                        max_sum=ls->max_hz_sum+rs->max_qz_sum;
                        max_sum_lp=ls->max_hz_sum_lp;
                        max_sum_rp=rs->max_qz_sum_rp;
                    }
                }
            }//如您所见，由于愚蠢的“按字典序输出”存在，代码莫名其妙地增加了许多
        }
    }
    answ query_qz(int r){//查询最大前缀和
        if(r>=rp){
            return answ(0,max_qz_sum_rp,max_qz_sum);
        }else{
            answ res=ls->query_qz(r);
            if(r>=rs->lp){
                answ R=rs->query_qz(r);
                if(res.k<R.k+ls->sum){
                    res=answ(0,R.j,R.k+ls->sum);
                }
            }
            return res;
        }
    }
    answ query_hz(int l){//查询最大后缀和
        if(l<=lp){
            return answ(max_hz_sum_lp,0,max_hz_sum);
        }else{
            answ res=rs->query_hz(l);
            if(l<=ls->rp){
                answ L=ls->query_hz(l);
                if(res.k<L.k+rs->sum){
                    res=answ(L.i,0,L.k+rs->sum);
                }
            }
            return res;
        }
    }
    answ query(int l,int r){//查询最大字段和
        if(l<=lp&&rp<=r){
            return answ(max_sum_lp,max_sum_rp,max_sum);
        }else{
            answ res(0,0,-INF),L,R;
            if(l<=ls->rp){
                L=ls->query(l,r);
                if(L.k>res.k){
                    res=L;
                }
            }
            if(r>=rs->lp){
                R=rs->query(l,r);
                if(R.k>res.k){
                    res=R;
                }
            }
            if(l<=ls->rp&&r>=rs->lp){
                L=ls->query_hz(l);
                R=rs->query_qz(r);
                if(L.k+R.k>res.k){
                    res=answ(L.i,R.j,L.k+R.k);
                }
            }
            return res;
        }
    }
};
int n,m,a[MAXN+5],sum[MAXN+5];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    segment_tree data(a,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        if(r-l+1>33){//在数据量较小时使用暴力可以提高效率
            answ ans=data.query(l,r);
            cout<<ans.i<<" "<<ans.j<<" "<<ans.k<<endl;
        }else{
            int ansl=0,ansr=0,ans=-INF;
            for(int j=l;j<=r;j++){
                for(int k=j;k<=r;k++){
                    if(ans<sum[k]-sum[j-1]){
                        ansl=j;
                        ansr=k;
                        ans=sum[k]-sum[j-1];
                    }
                }
            }
            cout<<ansl<<" "<<ansr<<" "<<ans<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

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