Codeforces 288E - Polo the Penguin and Lucky Numbers（数位 dp+推式子）

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似乎我的解法和官方题解不太一样

纪念自己独立做出来的一道难度 2800 的题。

我们记 \(ans(x)\) 为 \([444...44,x]\) 的答案，显然答案为 \(ans(r)-ans(l)\)

其次我们考虑 \(a_i\) 与 \(a_{i+1}\) 之间有什么联系。

不难发现从 \(a_i\) 变到 \(a_{i+1}\)，也就是把 \(a_i\) 末尾一系列 \(7\) 改为 \(4\)，再把从右往左数第一个 \(4\) 改为 \(7\)。

这样我们就可以枚举末尾 \(7\) 的个数，假设为 \(cnt\)。

则 \(a_i=xxx...xx4777...77,a_{i+1}=xxx...xx7444...44\)

如果把前面 \(xxx...xx\) 记作 \(X\)，那么 \(a_i=X \times 10^{cnt}+4777...77,a_{i+1}=X \times 10^{cnt}+7444...44\)

把 \(a_ia_{i+1}\) 暴力展开，即可得到一个关于 \(X\) 的二次三项式 \(AX^2+BX+C\)，其中 \(A,B,C\) 是只与 \(cnt\) 有关的常数，它们具体是什么自己慢慢拆即可，这里就不再赘述了。。

接下来我们就要计算 \(X^2\) 的和，\(X\) 的和以及 \(X\) 的个数，显然可以数位 \(dp\) 预处理。

\(dp[i][0/1]\) 表示考虑到第 \(i\) 位，前 \(i\) 位是否达到上界的答案。

其中 \(dp[i][j]\) 中存三个值：平方和、和、以及个数。

转移可以从 \(dp[i-1][0/1]\) 中转移过来。再根据 \((10x+4)^2=100x^2+80x+16\)，\((10x+7)^2=100x^2+140x+49\) 化简。

/*
Contest: -
Problem: Codeforces 288E
Author: tzc_wk
Time: 2020.10.12
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi			first
#define se			second
#define pb			push_back
#define fz(i,a,b)	for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b)	for(int i=a;i>=b;i--)
#define foreach(it,v) for(__typeof(v.begin()) it=v.begin();it!=v.end();it++)
#define all(a)		a.begin(),a.end()
#define fill0(a)	memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a)	memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a)	memset(a,0x3f,sizeof(a))
#define y1			y1010101010101
#define y0			y0101010101010
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
const ll MOD=1e9+7;
char s[100005];int n;
struct data{
	ll sqr,cnt,sum;
	data(ll _sqr=0,ll _sum=0,ll _cnt=0){
		sqr=_sqr;sum=_sum;cnt=_cnt;
	}
} dp[100005][2];
ll pw[200005],seven[100005],four[100005];
inline data upd4(data p){
	return data(
	(p.sqr*100ll+p.sum*80ll+p.cnt*16ll)%MOD,
	(p.sum*10ll+p.cnt*4ll)%MOD,(p.cnt));
}
inline data upd7(data p){
	return data(
	(p.sqr*100ll+p.sum*140ll+p.cnt*49ll)%MOD,
	(p.sum*10ll+p.cnt*7ll)%MOD,(p.cnt));
}
inline void add(data &x,data y){
	x.sqr+=y.sqr;if(x.sqr>=MOD) x.sqr-=MOD;
	x.sum+=y.sum;if(x.sum>=MOD) x.sum-=MOD;
	x.cnt+=y.cnt;if(x.cnt>=MOD) x.cnt-=MOD;
}
inline ll get(data x,ll k);
inline ll calc(){
	scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
	for(int i=0;i<=n;i++) dp[i][0]=dp[i][1]=data(0,0,0);
	dp[0][1]=data(0,0,1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i][0]=dp[i][1]=data(0,0,0);
		if(s[i]=='4'){
			add(dp[i][0],upd4(dp[i-1][0]));
			add(dp[i][0],upd7(dp[i-1][0]));
			add(dp[i][1],upd4(dp[i-1][1]));
		}
		else{
			add(dp[i][0],upd4(dp[i-1][0]));
			add(dp[i][0],upd4(dp[i-1][1]));
			add(dp[i][0],upd7(dp[i-1][0]));
			add(dp[i][1],upd7(dp[i-1][1]));
		}
//		printf("%lld %lld %lld\n",dp[i][0].sqr,dp[i][0].sum,dp[i][0].cnt);
//		printf("%lld %lld %lld\n",dp[i][1].sqr,dp[i][1].sum,dp[i][1].cnt);
	}
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(s[i+1]=='4'){
			ans=(ans+get(dp[i][0],n-i-1))%MOD;
		} else{
			ans=(ans+get(dp[i][0],n-i-1))%MOD;
			ans=(ans+get(dp[i][1],n-i-1))%MOD;
		}
	}
//	printf("%lld\n",ans);
	return ans;
}
int main(){
	pw[0]=1;for(int i=1;i<=200002;i++) pw[i]=pw[i-1]*10%MOD;
	for(int i=1;i<=100000;i++) seven[i]=(seven[i-1]*10+7)%MOD;
	for(int i=1;i<=100000;i++) four[i]=(four[i-1]*10+4)%MOD;
	ll L=calc(),R=calc();
	printf("%lld\n",(R-L+MOD)%MOD);
	return 0;
}
inline ll get(data x,ll k){
//	printf("%d %d %d\n",x.sqr,x.sum,x.cnt);
	return (seven[k]*four[k]%MOD*x.cnt%MOD+seven[k]*pw[k+1]%MOD*x.sum%MOD+
	seven[k]*7%MOD*pw[k]%MOD*x.cnt%MOD+four[k]*pw[k+1]%MOD*x.sum%MOD+
	four[k]*4%MOD*pw[k]%MOD*x.cnt%MOD+pw[(k<<1)+2]*x.sqr%MOD+
	110*pw[k<<1]%MOD*x.sum%MOD+28*pw[k<<1]%MOD*x.cnt%MOD)%MOD;
}