Codeforces 870F - Path（数论+分类讨论+正难则反）

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首先考虑 \(d(u,v)\) 是个什么东西，分情况讨论：

• \(u\not\perp v\)，\(d(u,v)=1\)
• \(u\perp v\)，记 \(p_u\) 为 \(u\) 的最小质因子，\(p_v\) 为 \(v\) 的最小质因子，那么继续分情况讨论：
  • \(p_up_v\le n\)，\(d(u,v)=2\)（\(u\to p_up_v\to v\)）
  • \(p_up_v>n\) 且 \(\max(p_u,p_v)\le\dfrac{n}{2}\)，\(d(u,v)=3\)（\(u\to 2p_u\to 2p_v\to v\)）
  • \(p_up_v>n\) 且 \(\max(p_u,p_v)>\dfrac{n}{2}\)，\(d(u,v)=0\)

考虑对这四种情况分别计算，对于 \(d(u,v)=1\) 显然预处理出欧拉函数即可处理，即 \(\dbinom{n-1}{2}-\sum\limits_{i=1}^n(\varphi(i)-1)\)（由于 \(1\) 不能与任何点连边，因此 \(d(u,v)\ne 0\) 的点只可能在另外 \(n-1\) 个点之间），对于 \(d(u,v)=2\) 的情况直接处理比较困难，因此考虑正难则反，拿总方案数减去另外三种情况的方案数即可计算，对于第三种情况，由于 \(p_up_v>0\)，因此在 \([1,n]\) 中不存在某个数既是 \(p_u\) 也是 \(p_v\) 的倍数，因此对于某个固定的 \(p_u,p_v\)，合法的 \(u,v\) 的对数即是 \([1,n]\) 中 \(p_x=p_u\) 的 \(x\) 的个数与 \([1,n]\) 中 \(p_x=p_v\) 的 \(x\) 的个数之积。我们不妨假设 \(p_u<p_v\)，我们记 \(cnt_x\) 表示 \([1,n]\) 中有多少个数最小质因子为 \(x\)，那么考虑枚举 \(p_u\)，合法的 \(p_v\) 必然在区间 \((\max(p_u,\dfrac{n}{p_u}),\dfrac{n}{2}]\) 之间，前缀和优化一下即可。对于第四种情况也同理，枚举 \(p_u\)，合法的 \(p_v\) 在区间 \((\max(i,\dfrac{n}{2}),n]\) 之间。第二种情况减一下即可，复杂度线性。

最后讲一下我翻车的现场，我是考虑求出分别求出 \(d(u,v)=1/2/3\) 的情况并将它们的贡献加起来，\(d(u,v)=1,3\) 的情况自然是很容易求得的，但是 \(d(u,v)=2\) 的情况不好计算，然后我就一直在分析如何计算这种情况的方案数，xtbz……看来以后对于计算方案数的问题，如果正面计算比较困难要学会正难则反，学到了学到了（

const int MAXN=1e7;
int n,pr[MAXN/10+5],prcnt=0,mnp[MAXN+5],phi[MAXN+5],cnt[MAXN+5];
bitset<MAXN+5> vis;
void sieve(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis.test(i)){pr[++prcnt]=i;phi[i]=i-1;mnp[i]=i;}
		for(int j=1;pr[j]*i<=n&&j<=prcnt;j++){
			vis[pr[j]*i]=1;mnp[pr[j]*i]=pr[j];
			if(i%pr[j]==0){phi[pr[j]*i]=phi[i]*pr[j];break;}
			else phi[pr[j]*i]=phi[i]*phi[pr[j]];
		}
	}
}
int calc(int l,int r){return (l>r)?0:(cnt[r]-cnt[l]);}
int main(){
	scanf("%d",&n);sieve();ll sum=0,ans0=0,ans1=0,ans2=0,ans3=0;
	for(int i=2;i<=n;i++) cnt[mnp[i]]++;
	for(int i=1;i<=n;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];
	for(int i=1;i<=n;i++) sum+=phi[i]-1;
	ans1=1ll*(n-1)*(n-2)/2-sum;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int num=cnt[i]-cnt[i-1];
		if(i<=n/2) ans3+=1ll*num*calc(max(i,n/i),n/2);
		ans0+=1ll*num*calc(max(n/2,i),n);
	} ans2=sum-ans0-ans3;
	printf("%lld\n",ans1+(ans2<<1)+(ans3<<1)+ans3);
	return 0;
}