大叔学ML第五：逻辑回归

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基本形式

代价函数

用梯度下降法求$\vec\theta$

扩展

基本形式

逻辑回归是最常用的分类模型，在线性回归基础之上扩展而来，是一种广义线性回归。下面举例说明什么是逻辑回归：假设我们有样本如下（是我编程生成的数据）：

我们要做的是找到一个决策边界，把两类样本给分开，当有新数据进来时，就判断它在决策边界的哪一边。设边界线为线性函数

\[h_\theta(\vec x) = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 \tag {1}$$取0时的直线，如下图：

![image.png-12.4kB][2]

**我们的目标就是根据已知的样本来确定$\vec\theta$取值**。

上图中，处在边界线左边的为负例（带入（1）式结果小于0），边界线右边的为正例（带入（1）式结果大于0）。**从概率的角度考虑**：把一个点代入（1）式，如果为正，且越大越离边界线远，它是正例的概率就越大，直到接近1；相反，把一个点代入（1）式，如果为负，且越小离边界线越远，它是正例的概率就越小，直到接近0；此外，把一个点代入（1）式，如果结果正好等于0，那么它在边界线上，为正例和为负例的概率都是0.5。

为了用数学的方式精确表达上面的概率论述，前人找到一个好用的函数：
$$s(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} \tag{2}\]

这个函数叫做sigmoid（sigmoid：S形状的）函数（下文用S(z)或s(z)表示sigmoid函数），样子如下：

当$z=0$时，函数值为0.5，当$z > 0$时，函数取值$(0.5, 1)$；当$z < 0$时，函数取值$(0, 0.5)$，如果我们把欲判断点代入决策边界（1）式后得到的结果作为sigmoid函数的输入，那么输出就可以表示该点是正例的概率，简直完美。其实S型的函数应该还有别的，为什么前人独爱这个呢？那是因为，这个函求导比较简单，用链式法则可以非常容易算出其导数式为：

\[\frac{d}{z}s(z)=s(z)(1 - s(z)) \tag{3}
\]

simgiod函数求导过程：

\[\begin{align}\frac{d}{z}s(z)&=-\frac{1}{(1+e^{-z})^2}\cdot e^{-z} \cdot -1 \\
&=\frac{e^{-z}}{(1+e^{-z})^2}\\
&=\frac{1+e^{-z}-1}{(1+e^{-z})^2}\\
&=\frac{1+e^{-z}}{(1+e^{-z})^2} - \frac{1}{(1+e^{-z})^2}\\
&=s(z) - s(z)^2\\
&=s(z)(1-s(z))
\end{align}\]

第一步用了链式法则。

代价函数

设$t_\theta(\vec x)=s(h_\theta(\vec x))$已知：$$P(Y=y) = \begin{cases}

t_\theta(\vec x), &\text{如果 y = 1} \

1 - t_\theta(\vec x), &\text{如果 y = 0}

\end{cases}$$，写到一起：

\[P(Y=y)=t_\theta(\vec x)^y(1-t_\theta(\vec x))^{1-y} \tag{4}$$，根据（4）式写出极大似然函数：
$$l(\vec\theta)=\prod_{i=1}^mt_\theta(\vec x^{(i)})^{y^{(i)}}(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))^{1-y^{(i)}} $$，设代价函数$$j(\vec\theta)=-\frac{1}{m}\ln l(\vec\theta)$$ ，最大化$l(\vec\theta)$即最小化$j(\vec\theta)$。求对数是为了方便计算，把乘法转换为加法，把幂运算转换为乘法，单调性不变；前面的负号是为了把求最大值问题转换为求最小值问题，习惯上，应用梯度下降法时都是求最小值，不然叫“梯度上升了法”了，手动滑稽。当然，使用梯度下降法的前提条件是函数是凸的，大叔懒得证明了，这个函数就是个凸函数，不管你们信不信，我反正是信了。进一步对上式化解得：
$$j(\vec\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}\ln t_\theta(\vec x^{(i)}) + (1-y^{(i)})\ln(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))\right] \tag{5}\]

用梯度下降法求$\vec\theta$

将（5）式对$\vec\theta$求偏导：

$\frac{\partial}{\partial\theta_0}j(\vec\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_0^{(i)}$
$\frac{\partial}{\partial\theta_1}j(\vec\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_1^{(i)}$
$\cdots$
$\frac{\partial}{\partial\theta_n}j(\vec\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_n^{(i)}$

如果读者对矩阵计算非常熟悉的话，应该可以看出，上式可以写成矩阵形式，这样计算更方便：

\[\frac{d}{d\vec\theta}=\frac{1}{m}X^T(T-Y)，其中，T=\begin{pmatrix}t_\theta(\vec x^{(1)})\\
t_\theta(\vec x^{(2)})\\
\vdots \\
t_\theta(\vec x^{(m)})
\end{pmatrix}\]

对$j(\vec\theta)$求导的过程如下，多次应用链式法则即可：

\[\begin{align}
\frac{\partial}{\partial\theta_n}j(\vec\theta)&=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}\frac{1}{t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x)^\prime+(1-y^{(i)})\frac{1}{1-t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x)^\prime\right]\\
&=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}\frac{1}{t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x^{(i)})(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))h_\theta(\vec x)^\prime+(1-y^{(i)})\frac{1}{1-t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x^{(i)})(t_\theta(\vec x^{(i)}) - 1)h_\theta(\vec x)^\prime\right]\\
&=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))h_\theta(\vec x)^\prime + (y^{(i)})t_\theta(\vec x^{(i)} - 1)h_\theta(\vec x)^\prime\right]\\
&=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))x_n^{(i)} + (y^{(i)})t_\theta(\vec x^{(i)} - 1)x_n^{(i)}\right]\\
&=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y^{(i)} - t_\theta(\vec x^{(i)}))x_n^{(i)}\\
&=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)}) - y^{(i)})x_n^{(i)}
\end{align}\]

步骤1用到到了公式：$\ln x^\prime = \frac{1}{x}$
步骤2用到式（3）

有了偏导式后就可以编程了：

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

def sigmoid(z):

    return 1 / (1 + np.e**(-z))

def draw_samples(X, Y, sample_count):

    ''' 绘制正负例. '''

    positiveX1 = []

    positiveX2 = []

    negativeX1 = []

    negativeX2 = []

    for i in range(sample_count):

        if Y[i, 0] == 1:

            positiveX1.append(X[i, 0])

            positiveX2.append(X[i, 1])

        else:

            negativeX1.append(X[i, 0])

            negativeX2.append(X[i, 1])

    plt.scatter(positiveX1, positiveX2, marker='+')

    plt.scatter(negativeX1, negativeX2, marker='.')

def draw_border(theta):

    '''绘制边界线'''

    X = []

    Y = []

    for x in range(-2, 12):

        X.append(x)

        Y.append(-theta[0] / theta[2] - theta[1] / theta[2] * x )

    plt.plot(X, Y)

def create_samples(samples_count):

    ''' 生成样本数据'''

    X = np.empty((samples_count, 2))

    Y = np.empty((samples_count, 1))

    for i in range(samples_count):

        x1 = np.random.randint(0, 10)

        x2 = np.random.randint(0, 10)

        y = 0

        if x1 + x2 - 10 > 0:

            y =1

        X[i, 0] = x1

        X[i, 1] = x2

        Y[i, 0] = y

        noise = np.random.normal(0, 0.1, (samples_count, 2))

        X += noise

    return X, Y

def grad(X, Y, samples_count, theta):

    ''' 求代价函数在theta处的梯度. '''

    T = sigmoid(np.dot(X, theta))

    g =  np.dot(X.T, (T - Y)) / samples_count

    return g

def descend(X, Y, samples_count, theta = np.array([[1],[1],[1]]), step = 0.01, threshold = 0.05):

    ''' 梯度下降.

        Args:

            X: 样本

            Y：样本标记

            theta：初始值

            step：步长

            threshold：阈值

        Returns:

            theta：求出来的最优theta

    '''

    g = grad(X, Y, samples_count, theta)

    norm = np.linalg.norm(g)

    while norm > threshold:

        g = grad(X, Y, samples_count, theta)

        norm = np.linalg.norm(g)

        theta = theta - g * step

        print(norm)

    return theta

samples_count = 100

X, Y = create_samples(samples_count)

MatrixOnes = np.ones((100, 1))

X_with_noes = np.hstack((MatrixOnes, X)) # 添加等于1的x0

theta = descend(X_with_noes, Y, samples_count)

plt.xlabel('$x_1$')

plt.ylabel('$x_2$')

draw_samples(X, Y, samples_count)

draw_border(theta.flatten())

plt.show()

运行结果：

上面的代码中，我在样本矩阵中增加了一列为1的元素，这样做是为了计算方便，使得样本矩阵的列数等于欲求$\vec\theta$的行数，满足矩阵乘法的要求，加上这一列对结果没有影响，请参考大叔学ML第二：线性回归

扩展

和线性回归一样，逻辑回归也存在过拟合的情况，可以通过添加一范数、二范数正则化来解决
和线性回归一样，逻辑回归的决策边界可以是曲折的多项式，可参考大叔学ML第三：多项式回归，依葫芦画瓢来搞定决曲折的决策边界
和线性回归一样，逻辑回归也可以扩展到多余3维的情况，只是不可以做可视化了，代数原理是一致的
和线性回归不一样，逻辑回归应该没有“正规方程”，大叔昨天按照线性回归的正规方程的推导思路推导并未得出结果，查资料也未果
除了梯度下降法，牛顿法和拟牛顿法也是迭代下降算法，而且下降效率更好，大叔稍后将会写一篇博文介绍之
多分类，多分类非常简单，假如样本数据共有3类，记作A、B和C，先把A分为正例，B和C分为负例，会得到一条决策边界，然后再把B分为正例，C分为正例做同样的操作，最后得到3条决策边界，也就是得到3个不同的概率计算函数，如果有新数据进来，分别带入这三个函数，取概率值最大的那个函数所代表的分类即可。

祝元旦快乐！