【CF833D】Red-Black Cobweb（点分治）

【CF833D】Red-Black Cobweb（点分治）

题面

CF

有一棵树，每条边有一个颜色(黑白)和一个权值，定义一条路径是好的，当且仅当这条路径上所有边的黑白颜色个数a,b满足2min(a,b)>=max(a,b)，一条路径的权值为路径上所有边的权值的乘积，求所有好的路径的权值乘积．

\(n<=10^5\)

题解

首先看到求所有路径相关的内容，不难想到点分治。

两个限制可以转化为需要同时满足：\(2a\ge b,2b\ge a\)。

对于两条路径\(a1,b1/a2,b2\)考虑如何合并。

需要满足的两个条件就变成了\(2(a1+a2)\ge b1+b2\)以及\(2(b1+b2)\ge a1+a2\)

再稍微拆开看看就变成了\(2a1-b1\ge b2-2a2\)，另一个类似。

这里怎么计算总的方案数，那么就用总数减去不合法的，如果不合法显然只会有一个不等式不合法（因为另外一个不等式是由最大值的两倍大于较小值得到的，它无论如何都会是对的），那么只需要统计有一个不合法的所有链就好了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAX 100100
#define MOD 1000000007
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
struct Line{int v,next,w,c;}e[MAX<<1];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,int w,int c){e[cnt]=(Line){v,h[u],w,c};h[u]=cnt++;}
int Size,mx,rt,size[MAX];bool vis[MAX];
int n,N,ans,ans1=1,ans2=1;
int lb(int x){return x&(-x);}
struct BIT
{
	int c1[MAX<<3],c2[MAX<<3];
	void pre(){for(int i=1;i<=N;++i)c1[i]=1,c2[i]=0;}
	void Modify(int x,int w){while(x<=N)c1[x]=1ll*c1[x]*w%MOD,c2[x]+=1,x+=lb(x);}
	void Clear(int x){while(x<=N)c1[x]=1,c2[x]=0,x+=lb(x);}
	int Querys(int x){int s=1;while(x)s=1ll*s*c1[x]%MOD,x-=lb(x);return s;}
	int Queryt(int x){int s=0;while(x)s+=c2[x],x-=lb(x);return s;}
	int Querys(int l,int r){return 1ll*Querys(r)*fpow(Querys(l-1),MOD-2)%MOD;}
	int Queryt(int l,int r){return Queryt(r)-Queryt(l-1);}
}c1,c2;
void Getroot(int u,int ff)
{
	int ret=0;size[u]=1;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;if(v==ff||vis[v])continue;
		Getroot(v,u);size[u]+=size[v];ret=max(ret,size[v]);
	}
	ret=max(ret,Size-size[u]);
	if(ret<mx)mx=ret,rt=u;
}
struct Pair{int a,b,w;}S[MAX],T[MAX];
int top,sum,W,SW,py;
void dfs(int u,int ff,int a,int b,int w)
{
	T[++top]=(Pair){a,b,w};W=1ll*w*W%MOD;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
		if(e[i].v!=ff&&!vis[e[i].v])
			dfs(e[i].v,u,a+(e[i].c^1),b+e[i].c,1ll*w*e[i].w%MOD);
}
void Divide(int u)
{
	vis[u]=true;sum=0;SW=1;S[++sum]=(Pair){0,0,1};
	c1.Modify(py,1);c2.Modify(py,1);
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;if(vis[v])continue;
		top=0;W=1;dfs(e[i].v,u,e[i].c^1,e[i].c,e[i].w);
		ans1=1ll*ans1*fpow(W,sum)%MOD*fpow(SW,top)%MOD;
		SW=1ll*SW*W%MOD;
		for(int j=1;j<=top;++j)
		{
			int A=T[j].b-2*T[j].a-1+py,B=T[j].a-2*T[j].b-1+py;
			ans2=1ll*ans2*c1.Querys(2,A)%MOD*fpow(T[j].w,c1.Queryt(2,A))%MOD;
			ans2=1ll*ans2*c2.Querys(2,B)%MOD*fpow(T[j].w,c2.Queryt(2,B))%MOD;
		}
		for(int j=1;j<=top;++j)
		{
			int A=2*T[j].a-T[j].b+py;c1.Modify(A,T[j].w);
			int B=2*T[j].b-T[j].a+py;c2.Modify(B,T[j].w);
			S[++sum]=T[j];
		}
	}
	for(int j=1;j<=sum;++j)
	{
		int A=2*S[j].a-S[j].b+py;c1.Clear(A);
		int B=2*S[j].b-S[j].a+py;c2.Clear(B);
	}
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;if(vis[v])continue;
		Size=mx=size[v];Getroot(v,u);
		Divide(rt);
	}
}
int main()
{
	n=read();py=n+n+2;N=5*n;c1.pre();c2.pre();
	for(int i=1,u,v,w,c;i<n;++i)
		u=read(),v=read(),w=read(),c=read(),Add(u,v,w,c),Add(v,u,w,c);
	Size=mx=n;Getroot(1,0);Divide(rt);
	ans=1ll*ans1*fpow(ans2,MOD-2)%MOD;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}