SVM: 使用kernels(核函数)的整个SVM算法过程

将所有的样本都选做landmarks

一种方法是将所有的training data都做为landmarks,这样就会有m个landmarks(m个trainnign data),这样features就是某个x(可以是trainning data/cross validation data/test data里面的)与这些landmarks之间的距离的远近程度的描述。

landmarks选定后得出新的features向量

给出一个x,则通过这些landmarks来计算features向量，和之前的类似，将f₀=1;

对于在training data里面的x⁽ⁱ⁾则通过kernel函数映射后变为f₁⁽ⁱ⁾,f₂⁽ⁱ⁾.....f_m⁽ⁱ⁾(m个trainning data,m个landmarks),对于f_i⁽ⁱ⁾,由高斯核函数计算得出1

如何minimize cost function得出parameters-- θ

我们根据核函数计算出new features f(有m+1维):m个landmarks(m个data set),+1是f₀=1

cost function与之前的有些不同，因为我们用了新的features,所以z不是θ^Tx⁽ⁱ⁾而是θ^Tf⁽ⁱ⁾；后面的正则化项因为θ为m+1维，不对θ₀正则化，即从θ1-m进行累加

这儿需要注意的是在使用SVM与核函数时，不是使用θ^Tθ来表示parameters的平方的累加,而是使用θ^TMθ（M为依赖于采用的某个核函数的矩阵）,为另一种略有区别的距离度量方式，不使用||θ||²进行最小化，而是最小化另一种类型的度量（参数向量θ的变尺度形式，这种变化和核函数有关），这样使得SVM有效率的运行，之所以这样做是为了适应大的数据集，因为当我们的数据集很大的时，landmarks就会很多，θ的维数也会很大，这样计算θ就会很慢，所以做了这样的优化。

kernels能应用到其它算法吗？如logistic regression等？可以将kernels应用到其它算法，但是用于SVM的计算技巧却不能较好的推广到其它算法（如logistic regression）,所以将kernels应用到logistic regression时，会变得非常慢。

SVM与kernels是相配的，而logistic regression与kernels会十分慢。

一些计算小技巧是人们专门为使用kernels的SVM来开发的

如何确定SVM的一些参数(如C与高斯核函数的σ²)--bias与variance之间的权衡

C=1/λ,λ为正则化参数，当C大时，表示λ小，则会high variance,low bias(overfitting)

当C小是，表示λ大，则会high bias, low variance(underfitting)

σ²为高斯核函数的参数，用来表示f(新的features)与x之间变化是平缓的还是急剧的。

大的σ²，表示参数的值随着x的变化而变化平缓,所以会出现underfitting(high bias,lower variance)

小的σ²，表示参数的值随着x的变化而变化急剧所以会出现overfitting(high variance,lower bias)