SVM: 用kernels(核函数)来定义新的features,避免使用多项式,高斯kernel

应用kernels来进行非线性分类

非线性分类:是否存在好的features的选择（而不是多项式)--f1,f2,f3....

上图是一个非线性分类的问题，前面讲过，我们可以应用多项式(features)来构造hypothesis来解决复杂的非线性分类问题。

我们将x1,x2,x1x2.....替换成f1,f2,f3......，那么是否有更好的features的选择呢（而不是这些多项式做为features）,因为我们知道以这些多项式做为features，次数较高，计算较复杂.

使用Kernel(核函数)来计算新的features

假设现在我们有三个features: x0,x1,x2；我们选择三个标识点(landmarks l(1),l(2),l(3)),通过相似度函数，也称为核函数来计算x与三个标识点之间的相似度

这儿我们使用的核函数是Gaussian(高斯)kernels，核函数有很多种，这儿我们只是选取了其中的一种

核函数也记为小写k（x,l⁽ⁱ⁾）,将旧的features(x0,x1,x2)通过核函数与标识点(landmarks)映射成新的features---f1,f2,f3

Kernels是怎么度量这种相似度的

在这个例子中，我们忽略了x0（截距），因为x0总是等于1.

由上面的公式可以看出，当x与我们的一个landmark很近时，它们之间的欧式距离约等于0，这时高斯核函数的值约为1(可以理解为与这个landmark相似)

当x与我们的landmark相距很远时，它们之间的欧式距离很大，这时高斯核函数的值约为0(可以理解为与这个landmark不相似)

这样我们通过三个landmarks(l(1),l(2),l(3))来生成三个新的features: f1,f2,f3.这三个features分别用来度量样本点是否与这三个landmarks是否相似(1/0)

画图来看核函数(与landmarks的相似度)

假如现在我们的一个landmark为(3,5),σ²=1,则左边为f1的图，可以看到当x=(3,5)时（即与landmark相等时），f1的值达到最大=1,随着x离(3,5)越来越远，f1的值下降，直到为0(即相距很远)。下面的那个图为上面的图的等值线。

σ²为高斯核函数的parameter(参数),它可以用来调整下降的速度。如当σ²=0.5时，图像会更陡，说明下降上升得越快；当σ²=3时，图像会更平缓，说明下降上升得越慢。

使用了新的features(利用kernel函数)后如何进行预测(画出非线性decision boundary)

在SVM中的hypothesis是直接对结果进行预测，如上图所示，当θ^Tx>=0时，hypothesis = 1;

利用某种学习算法求得了它的parameters(θ),分别为θ₀₌-0.5,θ1=1,θ2=1,θ3=0

当我的x(trainning/crossvalidation/test data)距离landmark1(l1)很近时，这时hypothesis=0.5>0,预测值为1;

当我的x(trainning/crossvalidation/test data)距离landmark2(l2)很近时，这时hypothesis=0.5>0,预测值为1;

当我的x(trainning/crossvalidation/test data)距离landmark1(l1)和landmark2(l2)都很远时，这时hypothesis=-0.5<0,预测值为0;

这样我们就可以画出decision boundary大致如上图所示，在红色框里面的点，预测值为1；在框外的点，预测值为0；这样我们就画出了一个非线性的决策边界

那么我们如何选择landmarks呢？以及除了高斯核函数外有其它的核函数吗？---之后会提到

总结

1. Kernel(核函数)是用来计算新的features的,从而避免在非线性较复杂的问题时直接使用多项式来做为features(使用多项式计算较复杂)
2. 高斯核函数通过x与landmarks的距离远近来度量这种相似度（越近表明越相似越接近于1,越远表明越不相似，越接近于0）,取值范围在0-1之间。这样就映射出了新的features(这种features表明与landmarks的相似的度量)