CF1245F: Daniel and Spring Cleaning

CF1245F： Daniel and Spring Cleaning

题意描述:

• 给定区间\([L,R]\)，其中 \((0\leq L,R\leq 10^9)\)，问在区间内有多少数对\((x,y)\)满足\(x+y==x\land y\)。

输入描述：

• 第一行输入一个\(T\)表示测试样例数目。
• 接下来每一个测试样例输入两个整数\(L,R\)表示区间。

输出描述：

• 输出一个整数表示答案。

思路：

• 首先对条件进行变形。
• \(x+y==x\land y\)，有\(x\&y==0\)，证明略。
• 那么题目要求的就转化为区间内\(x\&y==0\)的数对数量。
• 定义\(f(l,r)\)为\([l,r)\)区间内满足条件的数对的数量。那么显然有\(f(0,r)=2r+f(1,r)\)，因为\(0\)可以和任意数字组合。
• 性质：\(f(2l,2r)=3f(l,r)\)。
  • 证明：
  • 考虑满足条件的数对\((x,y)\)的二进制表示。对于最右边的位置，有三种选择方式\((0,1),(1,0),(0,0)\)。
  • 选择其他位的方法是\(f(l,r)\)，因此\(f(2l,2r)=3f(l,r)\)。
• 这样我们可以每次对范围除以\(2\)，但这样就要保证我们的\(l,r\)是偶数，当他不是偶数的时候可以进行如下操作。
• 定义\(g(x,n)\)为满足以下条件的\(y\)的个数。
  • \(0\leq y<n\)
  • \(x\&y==0\)
• 那么当\(l\)是奇数的时候：
  • \(f(l+1,r)=f(l,r)-2(g(l,r)-g(l,l))\)。
    • 解释：由最上方定义的那个性质可以知道：\(f(l,r)=num+f(l+1,r)\)，其中\(num\)是\(l\)与\([l,r]\)区间内的数满足条件的数对\((l,x)\)数量\((x\in[l,r])\)。
    • 那么由\(g(i,j)\)的定义可知，\(g(l,r)\)表示\(l\)在\([0,r]\)范围内满足条件的\(y\)的个数，\(g(l,l)\)表示在\([0,l)\)范围内满足条件的\(y\)的个数，那么两个相减就是\([l,r)\)区间内满足条件数对的数量。当然要\(*2\)，因为\((x,y)\)与\((y,x)\)为两种情况。
  • 变形为\(f(l,r)=f(l+1,r)+2(g(l,r)-g(l,l))\)。
• 同样的当\(r\)为奇数的时候有：
  • \(f(l,r-1)=f(l,r)-2(g(r-1,r)-g(r-1,l))\)。
    • 解释：他的差值也就是\(r-1\)在\([l,r)\)内有多少满足条件的数对。
  • \(f(l,r)=f(l,r-1)+2(g(r-1,r)-g(r-1,l))\)。
• 于是我们只需要考虑如何快速的计算\(g(i,j)\)。
• 定义\(h(x,n)\)为满足下列条件的\(y\)的数量。
  • \(n-lowbit(n)\leq y<n\)
  • \(x\& y==0\)
• 那么有\(g(x,n)=h(x,n)+g(x,n-lowbit(n))(n>0)\)。
• 对于\(h(x,n)\)，我们可以在\(logn\)的时间内计算出来。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll g(int a, int b)
{
    ll res = 0;
    ll num = 0;

    for(int i = 1; i <= b; i <<= 1)
    {
        if(b & i)
        {
            b ^= i;
            if(!(a&b)) res += 1<<num;
        }
        if(!(a&i)) num++;
    }

    return res;
}

ll calc(int a, int b)
{
    if(a == b) return 0;
    if(a == 0) return 2*b - 1 + calc(1, b);
    ll res = 0;
    if(a & 1)
    {
        //f(l,r)=f(l+1,r)+2(g(l,r)-g(l,l))
        res += 2 * (g(a, b) - g(a,a));
        a++;
    }
    if(b & 1)
    {
        //f(l,r)=f(l,r-1)+2(g(r-1,r)-g(r-1,l))
        res += 2 * (g(b-1, b) - g(b-1, a));
        b--;
    }
    return res + 3 * calc(a/2, b/2);
}

int main()
{
    int T; cin >> T;
    int a, b;
    while(T--)
    {
        cin >> a >> b;
        cout << calc(a, b+1) << endl;
    }
    return 0;
}