Luogu P4016 「 网络流 24 题 」负载平衡问题
吐槽题目难度,这个题建模好像比前两个都要难,但是难度评级却比第二个要低。
解题思路
依旧是考虑如何建模和建立源点汇点。每个点的货物数量到最后都一样的话肯定是等于他们的平均值。用 $num$ 数组存储原来的货物数量,$tmp$ 是平均值。
- 如果 $num[i]-tmp$ 大于 $0$ 就表示这个点会免费多出一些货物,那就将源点与这个点相连。容量就是 $num[i]-tmp$,花费为 $0$ ;
- 如果 $tmp-num[i]$ 大于 $0$ 就表示这个点需要从别的地方运进一些货物,就将这个点与汇点相连。容量就是 $tmp-num[i]$,花费为 $0$ ;
- 再就每个点要和它左右两边的点相连,由于已经有上面的两种边作为限制。所以这里的容量直接设为 $INF$ ,花费为 $1$ 。
这就建好了图,这个最小的搬运量就等于在这个网络上的最小费用最大流。
附上代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
inline int read() {
int x = , f = ; char c = getchar();
while (c < '' || c > '') {if(c == '-') f = -; c = getchar();}
while (c <= '' && c >= '') {x = x* + c-''; c = getchar();}
return x * f;
}
const int maxn = , INF = ;
int n, num[], tmp, s, t, head[], cnt = , dis[], x[], pre[], Ans;
bool vis[];
struct edge {
int u, v, w, p, nxt;
}ed[maxn];
inline void addedge(int u, int v, int w, int p) {
ed[++cnt].nxt = head[u];
ed[cnt].u = u, ed[cnt].v = v, ed[cnt].w = w, ed[cnt].p = p;
head[u] = cnt;
}
inline void add(int u, int v, int w, int p) {
addedge(u, v, w, p), addedge(v, u, , -p);
}
inline bool SPFA() {
queue<int> Q;
for(int i=; i<=n+; i++) dis[i] = INF;
memset(vis, , sizeof(vis));
vis[s] = , dis[s] = , Q.push(s);
int u;
while (!Q.empty()) {
u = Q.front();
Q.pop();
vis[u] = ;
for(int i=head[u]; i; i=ed[i].nxt) {
if(dis[ed[i].v] > dis[u] + ed[i].p && ed[i].w > ) {
dis[ed[i].v] = dis[u] + ed[i].p;
pre[ed[i].v] = i;
if(!vis[ed[i].v]) {
vis[ed[i].v] = ;
Q.push(ed[i].v);
}
}
}
}
if(dis[t] != INF) return true;
return false;
}
inline void EK() {
int mn = INF;
for(int i=t; i!=s; i=ed[pre[i]].u)
mn = min(mn, ed[pre[i]].w);
for(int i=t; i!=s; i=ed[pre[i]].u) {
ed[pre[i]].w -= mn;
ed[pre[i]^].w += mn;
Ans += ed[pre[i]].p * mn;
}
}
int main() {
n = read();
static int sum;
for(int i=; i<=n; i++) {
num[i] = read();
sum += num[i];
}
tmp = sum / n;
s = , t = n+;
for(int i=; i<=n; i++) x[i] = num[i] - tmp;
for(int i=; i<=n; i++) {
if(x[i] > ) add(s, i, x[i], );
else add(i, t, -x[i], );
}
for(int i=; i<=n; i++) {
if(i != ) add(i, i-, INF, );
if(i != n) add(i, i+, INF, );
}
add(, n, INF, ), add(n, , INF, );
while (SPFA()) EK();
printf("%d", Ans);
}
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