bzoj 2818 GCD 数论 欧拉函数
bzoj【2818】Gcd
Description
给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.
Input
一个整数N
Output
如题
Sample Input
Sample Output
HINT
hint
对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)
1<=N<=10^7
题解一(自己yy)
phi[i]表示与x互质的数的个数
即gcd(x,y)=1 1<=y<x
∴对于x,y 若a为素数
则gcd(xa,ya)=a
即满足xa<=N即可,这个答案即为满足条件数的个数
n是10e7,可以O(N)先求出phi
一种方法可以N log N即,二分质数使其满足,但不够优秀
发现x(枚举值)不断增大,即质数个数不断减少,所以单调性
所以O(N)即可。
题解二
求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对
枚举每个素数,然后每个素数p对于答案的贡献就是(1 ~ n / p) 中有序互质对的个数
而求1~m中有序互质对x,y的个数,可以令y >= x, 当y = x时,有且只有y = x = 1互质,
当y > x时,确定y以后符合条件的个数x就是 phiy
所以有序互质对的个数为(1 ~ n/p)的欧拉函数之和乘2减1(要求的是有序互质对,乘2以后减去(1, 1)多算的一次)
那么就只需要先筛出欧拉函数再求个前缀和就可以了
思路二更优秀,hzw大佬。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define N 10000005
using namespace std;
int n,p,tot;
int phi[N],pri[];
bool mark[N];
ll ans,sum[N];
void getphi()
{
phi[]=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
if(!mark[i]){phi[i]=i-;pri[++tot]=i;}
for(int j=;j<=tot;j++)
{
int x=pri[j];
if(i*x>n)break;
mark[i*x]=;
if(i%x==){phi[i*x]=phi[i]*x;break;}
else phi[i*x]=phi[i]*phi[x];
}
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
getphi();
for(int i=;i<=n;i++)
sum[i]=sum[i-]+phi[i];
for(int i=;i<=tot;i++)
ans+=sum[n/pri[i]]*-;
printf("%lld",ans);
return ;
}
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