NOIP2016换教室

题目

一道毒瘤概率期望DP。点这里

首先

对于每个时间段（就是每节课），我们有申请和不申请两种情况。如果不申请的话，一定在\(c[ i ]\)，否则，可能在\(c[ i ]\),也可能在\(d[ i ]\)。所以我们先预处理一些东西。 先用弗洛伊德处理出最短路（这就不用详细介绍了吧）。我们先考虑相邻的两间教室，如果这两间教室都申请的话，就会有四种情况（①都通过，②都没通过，③第一个通过，④第二个通过）感觉又长又臭。所以我们先处理出两间教室都申请的情况。 用\(a[ i ]\)表示在都申请的前提下从第i个教室走到第i+1个教室的期望长度 \(dis[ i ] [ j ]\)表示从教室i到j的最短路。

情况①的概率为 $ k[ i ] k[ i+1 ] $ ，再乘上路径的长度 \(dis[ c[ i ] ][ c[ i+1 ] ]\)

同理 情况② \(1 - k[ i ]) (1 - k[ i+1 ]) dis[ d[ i ] ][ d[ i+1 ] ]\)

情况③ \(k[ i ] (1 - k[ i+1 ]) dis[ c[ i ] ][ d[ i+1 ] ]\)

情况④$(1 - k[ i ]) k[ i+1 ] * dis[ d[ i ] ][ c[ i+1 ] ] $

所以：

for(int i=1;i<=n;i++)
     a[i]=(1-k[i])*(1-k[i+1])*dis[c[i]][c[i+1]]+
          k[i]*(1-k[i+1])*dis[d[i]][c[i+1]]+k[i]*k[i+1]*dis[d[i]][d[i+1]]+
           (1-k[i])*k[i+1]*dis[c[i]][d[i+1]]

太丑了

然后，继续预处理......

\(dp[ i ][ 0/1 ][ 0/1 ]\) 表示从第i节课的教室到第i+1节课的教室，第i节课的教室有（1）/没有(0)申请，第i+1个教室有(1)/没有(0)申请的期望长度

然后\(dp[ i ][ 1 ][ 1 ]\)的情况就是刚才的\(a[ i ]\)数组啦

其余情况同理可得，于是就：

for(int i=1;i<n;i++)
    {
        dp[i][0][0]=dis[c[i]][c[i+1]];
        dp[i][1][1]=a[i];
        dp[i][0][1]=k[i+1]*dis[c[i]][d[i+1]]+(1-k[i+1])*dis[c[i]][c[i+1]];
        dp[i][1][0]=k[i]*dis[d[i]][c[i+1]]+(1-k[i])*dis[c[i]][c[i+1]];
    }

然后，终于开始DP啦

用\(f[ i ][ j ][ 0/1 ]\) 示到达前i个教室，申请了j次，第i间教室有没有申请的期望最短长度。

！！！注意，j要从0开始，因为可以一次也不申请！！！

\(f[ i ][ j ][ 0 ]\)可以由\(f[ i - 1 ][ j ][ 0 ]\)和\(f[ i - 1 ][ j ][ 1 ]\)转移过来

\(f[ i ][ j ][ 1 ]\)可以由\(f[ i - 1][ j - 1 ][ 0 ]\)和\(f[ i - 1][ j - 1 ][ 1 ]\)转移过来

先初始化一下 \(f[ i ][ 0 ][ 0 ]\) 的情况

于是就得到了：

   f[1][1][1]=0; f[1][0][0]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
     f[i][0][0]=f[i-1][0][0]+dis[c[i-1]][c[i]];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][j][0]=min(f[i-1][j][1]+dp[i-1][1][0],f[i-1][j][0]+dp[i-1][0][0]);
            f[i][j][1]=min(f[i-1][j-1][1]+dp[i-1][1][1],f[i-1][j-1][0]+dp[i-1][0][1]);
        }
    }

最后统计答案就行啦,要注意可以申请 0到m次。

    for(int i=1;i<=m;i++)
     ans=min(ans,min(f[n][i][0],f[n][i][1]));

于是，这道题就做完了！

最后贴上完整版代码（大佬勿喷）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 2005;
const int INF = 27654134;
int n,m,v,e,c[N],d[N],dis[N][N];
double a[N],k[N],f[N][N][2],dp[N][2][2],ans=99999999.9;
//a[i]表示在都申请的前提下从第i个教室走到第i+1个教室的期望长度
// dp[i][0/1][0/1]从第i个教室到第i+1个教室，第i个教室有没有申请，第i+1个教室有没有申请的期望长度
//f[i][j][0/1]表示到达前i个教室，申请了j次，第i间教室有没有申请的期望最短长度
int main()
{
    memset(f,0x7f,sizeof(f));
//  memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&v,&e);
   for(int i=1;i<=v;i++)
    for(int j=1;j<=v;j++)
      dis[i][j]=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&d[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>k[i];
    int x,y,z;
    for(int i=1;i<=e;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        if(dis[x][y]) dis[x][y]=min(dis[x][y],z),dis[y][x]=min(dis[y][x],z);
        else dis[x][y]=z,dis[y][x]=z;
    }
    for(int i=1;i<=v;i++) dis[i][i]=0;
    for(int kk=1;kk<=v;kk++)
    {
        for(int i=1;i<=v;i++)
        {
            if(kk==i) continue;
            for(int j=1;j<=v;j++)
            {
                if(kk==j||i==j) continue;
                if(dis[i][kk]+dis[kk][j]<dis[i][j])
                 dis[i][j]=dis[i][kk]+dis[kk][j];
            }
        }
     }
    for(int i=1;i<=n;i++)
     a[i]=(1-k[i])*(1-k[i+1])*dis[c[i]][c[i+1]]+
          k[i]*(1-k[i+1])*dis[d[i]][c[i+1]]+k[i]*k[i+1]*dis[d[i]][d[i+1]]+
           (1-k[i])*k[i+1]*dis[c[i]][d[i+1]];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        dp[i][0][0]=dis[c[i]][c[i+1]];
        dp[i][1][1]=a[i];
        dp[i][0][1]=k[i+1]*dis[c[i]][d[i+1]]+(1-k[i+1])*dis[c[i]][c[i+1]];
        dp[i][1][0]=k[i]*dis[d[i]][c[i+1]]+(1-k[i])*dis[c[i]][c[i+1]];
    }
    f[1][1][1]=0; f[1][0][0]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
     f[i][0][0]=f[i-1][0][0]+dis[c[i-1]][c[i]];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][j][0]=min(f[i-1][j][1]+dp[i-1][1][0],f[i-1][j][0]+dp[i-1][0][0]);
            f[i][j][1]=min(f[i-1][j-1][1]+dp[i-1][1][1],f[i-1][j-1][0]+dp[i-1][0][1]);
        }
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)
     ans=min(ans,min(f[n][i][0],f[n][i][1]));
    printf("%.2lf\n",ans);
    return 0;
}