UOJ#185. 【ZJOI2016】小星星 容斥原理 动态规划

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题解

首先暴力DP是 $O(3^nn^3)$ 的，大家都会。

我们换个方向考虑。

假设我们求的是树上每一个节点到图上的节点的映射，而且图上的一个点可以被树上多个点映射到，那么就是求图上所有点都被映射到至少一次的方案数。

我们发现保证所有点都被映射到会很麻烦，所以我们考虑容斥。

枚举哪些点一定没有被映射到，答案就是至少0个点没被映射到的 - 至少1个点的 + 至少2个点的 ……

已经确定哪些点没有被映射到之后就好办了，设 $dp[i][j]$ 表示树上节点 $i$ 对应图上节点 $j$ 时，子树 $i$ 的方案数。

转移比较容易想到，不说了。

时间复杂度 $O(2^n n^3)$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=20;
int n,m;
vector <int> e[N];
int g[N][N],f[N];
LL dp[N][N];
int cnt1(int x){
	int ans=0;
	while (x)
		x-=x&-x,ans++;
	return ans;
}
void dfs(int x,int pre){
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (!f[i])
			dp[x][i]=1;
	for (auto y : e[x])
		if (y!=pre){
			dfs(y,x);
			for (int i=1;i<=n;i++)
				if (!f[i]){
					LL tot=1;
					for (int j=1;j<=n;j++)
						if (!f[j]&&g[i][j])
							tot+=dp[y][j];
					dp[x][i]*=tot;
				}
		}
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int x=read(),y=read();
		g[x][y]=g[y][x]=1;
	}
	for (int i=1;i<n;i++){
		int x=read(),y=read();
		e[x].push_back(y);
		e[y].push_back(x);
	}
	LL ans=0;
	for (int i=0;i<(1<<n);i++){
		clr(f);
		LL c=(cnt1(i)&1)?-1:1;
		for (int j=0;j<n;j++)
			if (i>>j&1)
				f[j+1]=1;
		clr(dp);
		dfs(1,0);
		for (int j=1;j<=n;j++)
			ans+=c*dp[1][j];
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}