[51nod 1822]序列求和

\(k\leq 200000\)

考虑转化成枚举 \(k\) 的形式

我们错位相减！

\[A_k=\sum_{i=1}^N i^K\times R^i
\\
RA_k=\sum_{i=2}^{N+1} (i-1)^KR^i
\\
(R-1)A_k=N^kR^{N+1}+\sum_{i=1}^{N}[(i-1)^k-i^k]R^i
\]

二项式展开！

\[(R-1)A_k=N^kR^{N+1}+\sum_{i=1}^{N}[\sum_{j=0}^k(-1)^{k-j}i^{j}-i^k]R^i
\\
=N^kR^{N+1}+\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k}{j}(-1)^{k-j}i^{j}R^i
\\
=N^kR^{N+1}+\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k}{j}(-1)^{k-j}\sum_{i=1}^{N}i^{j}R^i
\\
=N^kR^{N+1}+\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k}{j}(-1)^{k-j}A_j
\]

这个时候我们递归计算可以得到 \(O(k^2)\) 的复杂度

考虑能否插值出一个 \(k\) 次多项式？

先暴力展开第零项

\[A_0=\sum_{i=1}^N \times R^i
\]

等比数列求和公式套一下

\[S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}
\\
A_0=\frac{R(1-R^n)}{1-R}=\frac{R^{n+1}-R}{R-1}=R^{N + 1}\cdot (\frac{1}{R - 1}) - R\cdot (\frac{1}{R - 1})
\]

暴力展开第一项

\[A_1=\frac{NR^{N+1}-A_0}{R-1}
\\
A_1=\frac{NR^{N+1}-\frac{R^{n+1}-R}{R-1}}{R-1}
\\
A_1=\frac{NR^{N+1}}{R-1}-\frac{\frac{R^{n+1}-R}{R-1}}{R-1}
\\
A_1=\frac{NR^{N+1}}{R-1}-\frac{R^{n+1}-R}{(R-1)^2}
\\
A_1=R^{N + 1}(\frac{N}{R-1}-\frac{1}{(R-1)^2}) + R\times \frac{1}{(R-1)^2}
\]

我们的 \(A_k\) 可以插值，次数可以保证，我们直接把前 \(O(k)\) 项求出来插值，线性拉插一下就好了