算法之倍增和LCA：论点与点之间的攀亲戚

前言

我们在做树形题和图论题时常常遇到这样的问题：要求求出树上两点间的最近公共祖先（LCA），这时我们该怎么办？

思路一：暴力爬爬爬……

很容易想到让两个点都往上爬，啥时候相遇了就是他们的最近公共祖先。

但是这实在是太慢了啊！怎么办呢？

思路二：倍增思想

倍增思想来源于数学。

首先，可以证明任意整数可以写成二进制形式（废话）。

然后，可以证明向上爬的层数不是正整数就是0（又是废话）。

最后，如果每次爬的层数是其二进制中的每一位，即成二的几次方的往上爬，可以证明一定能爬到他们的LCA！（恍然大悟）

如何实现

你比方说，我要向上爬个\(n\)层。这个\(n\)比如说是\(114514\)

那他的二进制就是：

\(11 011 111 101 010 010\)

我们怎么爬？

既然是成二的几次方的爬，那我们从最左边开始吧！

我们可以发现，114514的二进制最左边一位是1，代表了\(2^{17}\)，二的17次方。

维护一个计数器，记录我们爬了多少。

可以发现，爬了\(2^{17}\)层后，没有超过114514，那就看下一位：\(2^{16}\)

如果这一位爬了，也是不越界的，那就继续爬

但是\(2^{15}\)这一位，如果爬了就越界了！所以此时我们要舍弃这一位，继续去看下一位能不能爬。

这就大大减少了我们向上爬的时间，这就是倍增思想。

LCA代码实现

请看代码，这同时是这道题的AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read(){
    int x=0;
    char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){
	c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
	x=(x<<1)+(x<<3)+(c^'0');
	c=getchar();
    }
    return x;
}//快读不用管
int n,m,s,x,y;
vector<int>tree[500001];//树
int dep[500001];//深度
int f[500001][21];//f[i][j]表示i节点的2的j次方祖先是谁
void dfs(int now,int d,int father){
    dep[now]=d;//记录深度
    f[now][0]=father;//爸爸是爸爸
    for(int i=1;(1<<i)<=dep[now];i++){
	f[now][i]=f[f[now][i-1]][i-1];//预处理祖先，数学原理：2^i=2^(i-1)+2^(i-1)
    }
    for(int i=0;i<tree[now].size();i++){//遍历相连的边
	if(tree[now][i]!=father)dfs(tree[now][i],d+1,now);//如果不是爸爸，就dfs
    }
}
int lca(int u,int v){
    int temp;
    if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
    temp=dep[u]-dep[v];//记录深度差
    for(int i=0;(1<<i)<=temp;i++){
    	if((1<<i)&temp){
    	    u=f[u][i];
	}
    }//这里是先把那个低一点的爬到和高一点的齐平
    if(u==v)return u;
    for(int i=(int)(log(n)/log(2));i>=0;i--){//一位位爬，这里这个log的用法用到了对数函数换底公式，不用理解太透
	if(f[u][i]!=f[v][i]){//如果祖先不同，因为超限就是未定义，未定义就是0，会祖先相同所以可以用来防止超限
	    u=f[u][i];//爬
	    v=f[v][i];
	}
    }
    return f[u][0];//最后两个的爸爸就是LCA
}
int main(){
    n=read();//节点数
    m=read();//询问个数
    s=read();//根节点
    for(int i=1;i<n;i++){
	x=read();
	y=read();
	tree[x].push_back(y);
	tree[y].push_back(x);
        //邻接表建树也不用说
    }
    dfs(s,1,0);//注意！首先一边DFS进行预处理
    for(int i=1;i<=m;i++){
	x=read();
	y=read();
	printf("%d\n",lca(x,y));//求LCA
    }
    return 0;
}