根号分治简单笔记 | P3396 哈希冲突

简要题意

你需要维护一个长度为 \(n\) 的序列 \(v\)，支持：

• A x y 求整个序列中，所有模 \(x\) 为 \(y\) 的下标的元素的值，即：

\[\sum_{i=0}^{\lfloor(n-y)\div x\rfloor}v_{ix+y}
\]

• C x y，将 \(v_x\) 修改为 \(y\)。

思路

根号分治是一种玄学的暴力优化，如果一道题的暴力有很多种写法，且每一种写法有自己独特的优势（如大值较快，小值较快等），则可以考虑根号分治。

比如说这道题，有两种方法：

• 直接暴力找序列中模 \(x\) 为 \(y\) 的所有下标，并把它们加起来。这样子大的 \(x\) 跑得快，小的值跑得慢。
• 预处理，小 \(x\) 较快，大的 TLE/MLE。

我们可以议定一个界 \(R\)，使得 \(x>R\) 的选择暴力，小于等于 \(R\) 的预处理。这里，\(R=\sqrt{n}\) 时较优。

总结：根号分治就是选择暴力方法，扬长避短，用暴力乱踩正解！

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n,m;
int a[1500005],f[500][500];
int bl;

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	bl=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=bl;j++){
			f[j][i%j]+=a[i];
		}
	}
	while(m--){
		char op;int x,y;
		cin>>op>>x>>y;
		if(op=='A'){
			if(x<=bl){
				cout<<f[x][y]<<'\n';
			}
			else{
				int ans=0;
				for(int i=y;i<=n;i+=x){
					ans+=a[i];
				}
				cout<<ans<<'\n';
			}
		}
		else{
			for(int i=1;i<=bl;i++){
				f[i][x%i]+=(y-a[x]);
			}
			a[x]=y;
		}
	}
	return 0;
}