UVa 10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2) (Polya定理)

题意：给定 n 和 m 表示要制作一个项链和手镯，项链和手镯的区别就是手镯旋转和翻转都是相同的，而项链旋转都是相同的，而翻转是不同的，问你使用 n 个珠子和 m 种颜色可以制作多少种项链和手镯。

析：一个很明显的 Polya 定理，先考虑旋转，如果逆时针旋转 i 个珠子，那么 0 i 2i 3i ... 是一个循环，这样的话就有 gcd(i, n) 个循环。

对于翻转，要考虑是奇偶，如果是奇数，肯定是要过一个珠子的，所以就一共有 n 个相同的，对于每一个会形成 n/2 个长度为 2 个的循环，和一个长度为 1 的循环（也就是在对称轴上的那个），如果 n 是偶数，那么有两种对称轴一种是过两个珠子，这样的有 n/2 条，形成 n/2-1 个长度为 2 循环，和两个长度为 1 循环（也就是在对称轴上的那两个），再就是不过任何珠子，那么这样的有 n/2 条对称轴，形成 n/2 个的长度为2 的循环。因为题目说了答案不会超过 11 位数字，所以可以用 long long 来解决。

代码如下：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <set>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <sstream>
#include <list>
#include <assert.h>
#include <bitset>
#include <numeric>
#define debug() puts("++++")
#define gcd(a, b) __gcd(a, b)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a)
#define sz size()
#define pu push_up
#define pd push_down
#define cl clear()
#define lowbit(x) -x&x
//#define all 1,n,1
#define FOR(i,x,n)  for(int i = (x); i < (n); ++i)
#define freopenr freopen("in.in", "r", stdin)
#define freopenw freopen("out.out", "w", stdout)
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> P;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL LNF = 1e17;
const double inf = 1e20;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
const int maxn = 100 + 10;
const int maxm = 100 + 2;
const LL mod = 100000000;
const int dr[] = {-1, 1, 0, 0, 1, 1, -1, -1};
const int dc[] = {0, 0, 1, -1, 1, -1, 1, -1};
const char *de[] = {"0000", "0001", "0010", "0011", "0100", "0101", "0110", "0111", "1000", "1001", "1010", "1011", "1100", "1101", "1110", "1111"};
int n, m;
const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
inline bool is_in(int r, int c) {
  return r >= 0 && r < n && c >= 0 && c < m;
}

LL f[maxn];

int main(){
  while(scanf("%d %d", &n, &m) == 2){
    f[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)  f[i] = f[i-1] * m;
    LL a = 0, b = (n&1) ? n * f[(n+1)/2] : n/2 * (f[n/2+1]+f[n/2]);
    for(int i = 0; i < n; ++i)  a += f[gcd(i, n)];
    printf("%lld %lld\n", a / n, (a+b)/2/n);
  }
  return 0;
}