洛谷 P4841 城市规划 解题报告

P4841 城市规划

题意

n个有标号点的简单(无重边无自环)无向连通图数目.

输入输出格式

输入格式：

仅一行一个整数\(n(\le 130000)\)

输出格式：

仅一行一个整数, 为方案数 \(\bmod 1004535809\).

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设\(g_i\)表示\(i\)个点的图的数目,\(f_i\)表示\(i\)个点联通图的个数

\[g_n=f_n+\sum_{i=1}^{n-1}f_i\binom{n-1}{i-1}g^{n-i}
\]

意义是联通图+非联通图，关于非联通图的方案，枚举1号点所在联通块然后剩下的随意构图，不连通。

显然有\(g_n=2^{\binom{n}{2}}\)，化简一波式子

\[\begin{aligned}
2^{\binom{n}{2}}&=\sum_{i=1}^nf_i\binom{n-1}{i-1}2^{\binom{n-i}{2}}\\
\frac{2^{\binom{n}{2}}}{(n-1)!}&=\sum_{i=1}^n\frac{f_i}{(i-1)!}\frac{2^{\binom{n-i}{2}}}{(n-i)!}
\end{aligned}
\]

然后令

\[F(i)=\frac{f_i}{(i-1)!},G(i)=\frac{2^{\binom{i}{2}}}{(i-1)!},H(i)=\frac{2^{\binom{i}{2}}}{i!}
\]

显然有

\[G=F*H
\]

对\(H\)求个逆就可以了。

一些关于意义的边界问题可以试试，反正不是0就是1..

调这个题的时候因为把指数给膜了，挂了20年...

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int mod=1004535809,Gi=334845270;
const int N=(1<<20)+10;
#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
#define add(a,b) ((a+b)%mod)
int fac[N],inv[N],A[N],B[N],t[2][N],G[N],H[N],turn[N],n,len,L;
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
void NTT(int *a,int typ)
{
    for(int i=1;i<len;i++) if(i<turn[i]) std::swap(a[i],a[turn[i]]);
    for(int le=1;le<len;le<<=1)
    {
        int wn=qp(typ?3:Gi,(mod-1)/(le<<1));
        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
        {
            int w=1;
            for(int i=p;i<p+le;i++,w=mul(w,wn))
            {
                int tx=a[i],ty=mul(w,a[i+le]);
                a[i]=add(tx,ty);
                a[i+le]=add(tx,mod-ty);
            }
        }
    }
    if(!typ)
    {
        int inv=qp(len,mod-2);
        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],inv);
    }
}
void polymul(int *a,int *b)
{
    for(int i=0;i<len;i++) A[i]=B[i]=0;
    for(int i=0;i<len>>1;i++) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
    NTT(A,1),NTT(B,1);
    for(int i=0;i<len;i++) A[i]=mul(A[i],B[i]);
    NTT(A,0);
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=A[i];
}
void init()
{
    for(int i=1;i<len;i++) turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L;
}
void polyinv(int *a,int n)
{
    int cur=0;t[cur][0]=qp(a[0],mod-2);
    len=1,L=-1;
    while(len<=n<<2)
    {
        len<<=1,++L,cur^=1,init();
        for(int i=0;i<len>>1;i++) t[cur][i]=add(t[cur^1][i],t[cur^1][i]);
        polymul(t[cur^1],t[cur^1]);
        polymul(t[cur^1],a);
        for(int i=0;i<len;i++) t[cur][i]=add(t[cur][i],mod-t[cur^1][i]);
    }
    for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=t[cur][i];
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    inv[n]=qp(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;~i;i--) inv[i]=mul(inv[i+1],i+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) G[i]=mul(qp(2,1ll*i*(i-1)/2%(mod-1)),inv[i-1]);
    for(int i=0;i<=n;i++) H[i]=mul(qp(2,1ll*i*(i-1)/2%(mod-1)),inv[i]);//这个mod-1调了本菜鸡20years
    polyinv(H,n);
    polymul(G,H);
    printf("%d\n",mul(G[n],fac[n-1]));
    return 0;
}

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2018.12.26