aced六类股票问题
一.状态转移框架
在我们刷题的过程中,很多同学肯定会遇到股票问题这类题目,股票问题有很多种类型,大多数同学都知道要用动态规划去做,但是往往写不对状态转移方程,我刚接触这类问题时也是一头雾水,但是掌握了问题的关键点之后,这类问题就可以迎刃而解了,在此我分享一个方法可以解决所有的股票问题。
股票问题一般有以下几种限制条件:交易次数,有无冷冻期(指完成一次交易之后的冷冻期),每次交易有无手续费。所以我们的dp数组有三个状态dp[i][k][s](i表示天数,k表示允许交易的最大次数,s表示当前的状态,0表示没有持股,1表示持股)。比如说dp[3][2][1]表示今天是第三天,我现在手上持有股票,至今最多进行两次交易。有了dp数组的定义,我们开始研究状态的转移情况,可以画个状态转移图。
通过此图可以清楚地看到每种状态(0和1)都是如何转移而来的,根据此图我们写一下状态转移方程。
dp[i][k][0]=max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i])。今天我没有持有股票有两种可能:1.昨天本来就没有持股,今天选择休息,所以今天还是没有持股2.昨天持有股票,今天sell了,所以我今天没有持股了。
dp[i][k][1]=max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i])。 今天我持股有两种可能:1.昨天就持股,今天休息,所以今天还持股。2.昨天没有持股,今天buy了,所以今天持股了。
在此我们选择了在buy的时候把k减小了1,当然你也可以在sell的时候减1,一样的。
至此为此,我们完成了动态规划的前两个步骤,最后一个步骤是定义初始值。
dp[-1][k][0] = 0
解释:因为 i 是从 0 开始的,所以 i = -1 意味着还没有开始,这时候的利润当然是 0 。
dp[-1][k][1] = -infinity
解释:还没开始的时候,是不可能持有股票的,用负无穷表示这种不可能。
dp[i][0][0] = 0
解释:因为 k 是从 1 开始的,所以 k = 0 意味着根本不允许交易,这时候利润当然是 0 。
dp[i][0][1] = -infinity
解释:不允许交易的情况下,是不可能持有股票的,用负无穷表示这种不可能。
把上面的状态转移方程总结一下:
初始值:
dp[-1][k][0] = dp[i][0][0] = 0
dp[-1][k][1] = dp[i][0][1] = -infinity
状态转移方程:
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
二.aced题目
1.第一题(k=1)
直接套状态转移方程,根据 base case,可以做一些化简:
dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - prices[i])
= max(dp[i-1][1][1], -prices[i])
解释:k = 0 的 base case,所以 dp[i-1][0][0] = 0。
现在发现 k 都是 1,不会改变,即 k 对状态转移已经没有影响了。
可以进行进一步化简去掉所有 k:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])
2.第二题(k=+infinity)
如果 k 为正无穷,那么就可以认为 k 和 k - 1 是一样的。可以这样改写框架:
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
= max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k][0] - prices[i])
我们发现数组中的 k 已经不会改变了,也就是说不需要记录 k 这个状态了:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
3.第三题(k = +infinity with cooldown)
每次 sell 之后要等一天才能继续交易。只要把这个特点融入上一题的状态转移方程即可:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-2][0] - prices[i])
解释:第 i 天选择 buy 的时候,要从 i-2 的状态转移,而不是 i-1 。
4.第四题(k = +infinity with fee)
每次交易要支付手续费,只要把手续费从利润中减去即可。改写方程:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i] - fee)
解释:相当于买入股票的价格升高了。
在第一个式子里减也是一样的,相当于卖出股票的价格减小了。
5.第五题(k=2)
k = 2 和前面题目的情况稍微不同,因为上面的情况都和 k 的关系不太大。要么 k 是正无穷,状态转移和 k 没关系了;要么 k = 1,跟 k = 0 这个 base case 挨得近,最后也没有存在感。
这道题 k = 2 和后面要讲的 k 是任意正整数的情况中,对 k 的处理就凸显出来了。我们直接写代码,边写边分析原因。
原始的动态转移方程,没有可化简的地方
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
按照之前的代码,我们可能想当然这样写代码(错误的):
int k = 2;
int[][][] dp = new int[n][k + 1][2];
for (int i = 0; i < n; i++)
if (i - 1 == -1) { /* 处理一下 base case*/ }
dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]);
dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]);
}
return dp[n - 1][k][0];
为什么错误?我这不是照着状态转移方程写的吗?
还记得前面总结的「穷举框架」吗?就是说我们必须穷举所有状态。其实我们之前的解法,都在穷举所有状态,只是之前的题目中 k 都被化简掉了。这道题由于没有消掉 k 的影响,所以必须要对 k 进行穷举:
int max_k = 2;
int[][][] dp = new int[n][max_k + 1][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int k = max_k; k >= 1; k--) {
if (i - 1 == -1) { /*处理 base case */ }
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]);
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]);
}
}
// 穷举了 n × max_k × 2 个状态,正确。
return dp[n - 1][max_k][0];
6.第六题(k = any integer)
有了上一题 k = 2 的铺垫,这题应该和上一题的第一个解法没啥区别。但是出现了一个超内存的错误,原来是传入的 k 值会非常大,dp 数组太大了。现在想想,交易次数 k 最多有多大呢?
一次交易由买入和卖出构成,至少需要两天。所以说有效的限制 k 应该不超过 n/2,如果超过,就没有约束作用了,相当于 k = +infinity。这种情况是之前解决过的。
直接把之前的代码重用:
int maxProfit_k_any(int max_k, int[] prices) {
int n = prices.length;
if (max_k > n / 2)
return maxProfit_k_inf(prices);
int[][][] dp = new int[n][max_k + 1][2];
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int k = max_k; k >= 1; k--) {
if (i - 1 == -1) { /* 处理 base case */ }
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]);
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]);
}
return dp[n - 1][max_k][0];
}
三.总结
本文给大家讲了如何通过状态转移的方法解决复杂的问题,用一个状态转移方程秒杀了 6 道股票买卖问题,现在想想,其实也不算难对吧?这已经属于动态规划问题中较困难的了。
关键就在于列举出所有可能的「状态」,然后想想怎么穷举更新这些「状态」。一般用一个多维 dp 数组储存这些状态,从 base case 开始向后推进,推进到最后的状态,就是我们想要的答案。想想这个过程,你是不是有点理解「动态规划」这个名词的意义了呢?
最后我们列出六道股票问题的题目链接,供大家去练习。
https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/
https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii
https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii
https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv
https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown
https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee
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