[HNOI 2009]最小圈

Description

考虑带权的有向图$G=(V,E)$以及$w:E\rightarrow R$,每条边$e=(i,j)(i\neq j,i\in V,j\in V)$的权值定义为$w_{i,j}$，令$n=|V|$。$c=(c_1,c_2,\cdots,c_k)(c_i\in V)$是$G$中的一个圈当且仅当$(c_i,c_{i+1})(1\le i<k)$和$(c_k,c_1)$都在$E$中，这时称$k$为圈$c$的长度同时令$c_{k+1}=c_1$，并定义圈$c=(c_1,c_2,\cdots,c_k)$的平均值为$\mu(c)=\sum\limits_{i=1}^{k} w_{c_i,c_{i+1}}/k$，即$c$上所有边的权值的平均值。令$\mu'(c)=Min(\mu(c))$为$G$中所有圈$c$的平均值的最小值。现在的目标是：在给定了一个图$G=(V,E)$以及$w:E\rightarrow R$之后，请求出$G$中所有圈$c$的平均值的最小值$\mu'(c)=Min(\mu(c))$

Input

第一行2个正整数，分别为$n$和$m$，并用一个空格隔开，只用$n=|V|,m=|E|$分别表示图中有$n$个点$m$条边。 接下来m行，每行3个数$i,j,w_{i,j}$，表示有一条边$(i,j)$且该边的权值为$w_{i,j}$。输入数据保证图$G=(V,E)$连通，存在圈且有一个点能到达其他所有点。

Output

请输出一个实数$\mu'(c)=Min(\mu(c))$，要求输出到小数点后8位。

Sample Input

4 5

1 2 5

2 3 5

3 1 5

2 4 3

4 1 3

Sample Output

3.66666667

HINT

对于100%的数据，$n\le 3000,m\le 10000,|w_{i,j}| \le 10^7$

题解

最小化平均值($01$分数规划)。

使用二分求解。对于一个猜测的$mid$,只需判断是否存在平均值小于$mid$的回路。

如何判断?

假设存在一个包含$k$条边的回路,回路上各边权值为$w_1$ ,$w_2$ ,$...$,$w_k$ ,那么平均值小于$midv$意味着:

$$w_1 +w_2 +...+w_k <k×mid$$

即:

$$(w_1 -mid)+(w_2 -mid)+...+(w_k -mid)<0$$

换句话说,只要把边$(a,b)$的权$w(a,b)$改成$w(a,b)-mid$,再判断新图中是否有负环即可。

存在负环,那么之前的不等式满足,即存在着更小的平均值,$r=mid$;不存在,$l=mid$。

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 #include <set>
 #include <map>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <cmath>
 #include <stack>
 #include <queue>
 #include <vector>
 #include <string>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define LL long long
 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
 #define sqr(x) ((x)*(x))
 using namespace std;
 const double eps = 1e-;
 const int N = ;
 const int M = ;

 int n, m, u, v, c;
 bool vis[N+];
 double dist[N+];
 struct tt {
   int to, next;
   double cost;
 }edge[M+];
 int path[N+], top;

 void add(int u, int v, double c) {
   edge[++top].to = v;
   edge[top].next = path[u];
   edge[top].cost = c;
   path[u] = top;
 }
 bool dfs(int u, double dec) {
   vis[u] = ;
   for (int i = path[u]; i; i = edge[i].next)
     if (dist[edge[i].to] > dist[u]+edge[i].cost-dec) {
       if (vis[edge[i].to]) {vis[u] = ; return true;}
       dist[edge[i].to] = dist[u]+(double)edge[i].cost-dec;
       if (dfs(edge[i].to, dec)) {vis[u] = ; return true;}
     }
   vis[u] = ;
   return false;
 }
 bool judge(double dec) {
   memset(dist, , sizeof(dist));
   for (int i = ; i <= n; i++)
     if (dfs(i, dec)) return true;
   return false;
 }
 void work() {
   scanf("%d%d", &n, &m);
   double L = , R = ;
   for (int i = ; i <= m; i++) {
     scanf("%d%d%d", &u, &v, &c);
     add(u, v, c);
     R = max(R, (double)c);
   }
   while (R-L >= eps) {
     double mid = (L+R)/.;
     if (judge(mid)) R = mid;
     else L =mid;
   }
   printf("%.8lf\n", (L+R)/.);
 }
 int main() {
   work();
   return ;
 }